- LG a
- LG b
Giải các bất phương trình sau :
LG a
\[\left[ {{ {x}} - 3} \right]\sqrt {{{ {x}}^2} + 4} \le {x^2} - 9\]
Lời giải chi tiết:
Bất phương trình tương đương với \[\left[ {x - 3} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 4} - \left[ {x + 3} \right]} \right] \le 0.\] Từ đó tập nghiệm cần tìm là hợp các tập nghiệm của hai hệ bất phương trình sau :
\[\left[ I \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \ge 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4} \le x + 3}\end{array}} \right.\]
\[\left[ {II} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \le 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4} \ge x + 3.\left[ * \right]}\end{array}} \right.\]
Giải hệ [I] : \[\left[ I \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{{x^2} + 4 \le {x^2} + 6x + 9}\end{array}} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \ge - \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\] [1]
Giải hệ [II] : Ta xét hai trường hợp :
- Trường hợp \[x -3\] : Dễ thấy mọi \[x -3\] là nghiệm.
- Trường hợp \[x > -3\] : Ta có
\[\left[ * \right] \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow x \le - \dfrac{5}{6}.\] Vậy trong trường hợp này, hệ [II] có nghiệm là \[ - 3 < x \le - \dfrac{5}{6}.\]
Do đó [II] \[ \Leftrightarrow x \le - \dfrac{5}{6}.\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :
\[S = \left[ { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right].\]
LG b
\[\dfrac{{9{{ {x}}^2} - 4}}{{\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} }} \le 3{ {x}} + 2\]
Lời giải chi tiết:
\[S = \left[ { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\dfrac{5}{2}} \right].\]
Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}9{{ {x}}^2} - 4 \le \left[ {3{ {x}} + 2} \right]\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} \\5{{ {x}}^2} - 1 > 0\end{array} \right.\]