Cho tam giác \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn \[[I]\] và \[[J]\] là đường tròn bàng tiếp góc \[A\][*]của tam giác. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm của cạnh \[BC.\]
Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn \[[I]\] và \[[J]\] là đường tròn bàng tiếp góc \[A\][*]của tam giác. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm của cạnh \[BC.\]
Lời giải chi tiết
Đặt tên các tiếp điểm của hai đường tròn như hình 40.
Ta có \[AR=AS\] và
\[AR+AS=[AB+BR]+[AC+CS]\]
\[=[AB+BH]+[AC+CH]\]
\[=AB+BC+AC=2p.\]
Vậy \[AR=AS=p,\] suy ra \[c+BH=p\] hay \[BH=p-c.\]
Ta cũng có \[AP=AQ, BP=BK, CK=CQ\] nên \[c+CK=b+BK.\]
Do \[[c+CK]+[b+BK]\]\[=a+b+c=2p\] nên \[c+CK=p\] hay \[CK=p-c=BH.\]
Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC,\] từ \[BH=CK\] suy ra \[MH=MK\] hay \[{P_{M/[I]}} = M{K^2} = M{H^2} = {P_{M/[J]}}.\]
Vậy \[M\] thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn \[[I]\] và \[[J]\].