- LG a
- LG b
Cho đa giác đều \[A_1A_2A_n\]nội tiếp trong đường tròn \[[O ; R]\] và một điểm \[M\] thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng:
LG a
\[\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}\] \[+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0;\]
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa của tích vô hướng ta có [ với mỗi \[i \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}\]]:
\[\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {O{A_i}} = OM.O{A_i}.\cos \widehat {MO{A_i}}\]
\[= {R^2}\cos \widehat {MO{A_i}}.\]
Do đó
\[\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}} \]\[+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\overrightarrow {OM} .[\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ].\]
Theo bài7[ chương I] thì \[\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} = \overrightarrow 0 \], nên :
\[\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}\]\[ + ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0\].
LG b
\[MA_1^2 + MA_2^2 + ... + MA_n^2\] có giá trị không đổi.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}MA_1^2 + MA_2^2 + ... + MA_n^2 \\= {\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {\overrightarrow {M{A_n}} ^2}\\= {[\overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OM} ]^2} + {[\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OM} ]^2} + ... + {[\overrightarrow {O{A_n}} - \overrightarrow {OM} ]^2} \\ = OA_1^2 + OA_2^2 + ... + OA_n^2 + nO{M^2} - 2[\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ].\overrightarrow {OM} \\= {R^2} + {R^2} + ... + {R^2} + n{R^2} - 0 = 2n{R^2}.\\\end{array}\]