- LG a
- LG b
Cho \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]. Trên cạnh \[AB\] lấy hai điểm \[M\] và \[N\] sao cho \[AM=MN=NB\].
LG a
Chứng tỏ rằng \[G\] cũng là trọng tâm tam giác \[MNC\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[I\] là trung điểm \[MN\] thì \[I\] cũng là trung điểm \[AB\], do đó
\[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = 2\overrightarrow {GI}= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} \]
Suy ra
\[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GC} \]
\[= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \].
Vậy \[G\] cũng là trọng tâm của tam giác \[MNC.\]
LG b
Đặt \[\overrightarrow {GA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB} = \overrightarrow b \]. Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \]: \[\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN} \].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow a - \overrightarrow b \\
\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GA} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow a \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\overrightarrow a - \overrightarrow b
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} \\= \overrightarrow {GA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {GA} + \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right]\\= \overrightarrow a + \dfrac{1}{3}[\overrightarrow b - \overrightarrow a ] \\= \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} \\= - \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\= - \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\left[ {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right]\\= 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{2}{3}[\overrightarrow b - \overrightarrow a ]\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\]