Đề bài
Cho điểm \[O\] bất kì nằm trong tam giác \[A_1A_2A_3\]. Gọi \[B_1, B_2, B_3\]lần lượt là hình chiếu của \[O\] trên \[A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1\]. Đặt
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {{a_1}} = {A_1}{A_2}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_1}} }}{{O{B_1}}} ,\\\overrightarrow {{a_2}} = {A_2}{A_3}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_2}} }}{{O{B_2}}} ,\\\overrightarrow {{a_3}} = {A_3}{A_1}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_3}} }}{{O{B_3}}} .\end{array}\]
Chứng minh rằng \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} = \overrightarrow 0 \].
Chú ý: kết quả trên đúng với đa giác \[A_1A_2A_n\] bất kì [định lí Con Nhím]. Trên hình 23, \[|\overrightarrow {{a_k}} | = {A_k}{A_{k + 1}}\] [ xem \[{A_{n + 1}} \equiv {A_1}\]], \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + ... + \overrightarrow {{a_n}} = \overrightarrow 0 \] [các vec tơ \[\overrightarrow {{a_k}} \] được gọi là các lông nhím].
Lời giải chi tiết
[h.37].
Ta có
\[\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right].\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\ = \left[ {\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right].\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\= \left[ {\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right]\left[ {\overrightarrow {{A_1}{A_3}} - \overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right]\\= \overrightarrow {{a_2}} .\overrightarrow {{A_1}{A_3}} - \overrightarrow {{a_3}} .\overrightarrow {{A_2}{A_3}} \\= |\overrightarrow {{a_2}} |{A_1}{A_3}.\cos \left[ {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right] \\- |\overrightarrow {{a_3}} |.{A_2}{A_3}.\cos \left[ {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right].\\\end{array}\]
Theo giả thiết \[|\overrightarrow {{a_2}} | = {A_2}{A_3} , |\overrightarrow {{a_3}} | = {A_1}{A_3}\].
Ngoài ra dễ thấy \[\cos \left[ {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right] = \cos \left[ {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right].\]
Suy ra \[\left[ {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right].\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = 0\]. Do đó, vec tơ \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} \] vuông góc với đường thẳng \[A_1A_2\].
Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có vec tơ \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} \] vuông góc với đường thẳng\[A_2A_3\].
Vậy \[\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} = 0\].