Ta có \[\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{{bc - a{\rm{d}}}}{{\left[ {b + {\rm{d}}} \right]b}} > 0;\]
Đề bài
Cho b, d là hai số dương và \[\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}.\] Chứng minh rằng
\[\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} < \dfrac{c}{d}\]
Lời giải chi tiết
Từ \[\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\] và b, d là hai số dương, suy ra \[a{\rm{d}} < bc\] hay \[ad bc < 0 ; bc ad > 0.\]
Ta có \[\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{{bc - a{\rm{d}}}}{{\left[ {b + {\rm{d}}} \right]b}} > 0;\]
\[\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a{\rm{d}} - bc}}{{\left[ {b + {\rm{d}}} \right]d}} < 0.\]
Vậy \[\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} < \dfrac{c}{d}.\]