Đề bài
Cho bốn điểm \[A[-8 ; 0], B[0 ; 4],\]\[ C[2 ; 0], D[-3 ; -5]\].Chứng minh rằng tứ giác \[ABCD\] nội tiếp được trong một đường tròn.
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = [8 ; 4] ; \overrightarrow {AD} = [5 ; - 5] ;\\ \overrightarrow {CB} = [ - 2 ; 4] ; \overrightarrow {CD} = [ - 5 ; - 5].\\\cos \left[ {\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AD} } \right]\\ = \dfrac{{8.5 + 4.[ - 5]}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2}} .\sqrt {{5^2} + {5^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} ,\\\cos \left[ {\overrightarrow {CB} , \overrightarrow {CD} } \right]\\ = \dfrac{{[ - 2].[ - 5] + 4.[ - 5]}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{5^2} + {5^2}} }} = - \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} ,\\ \Rightarrow \cos \left[ {\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AD} } \right] + \cos \left[ {\overrightarrow {CB} , \overrightarrow {CD} } \right] = 0 \\ \Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = {180^0}\end{array}\]
Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.