Đề bài
Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo tham số \[m\]
\[\begin{array}{l}{\Delta _1}:4x - my + 4 - m = 0;\\{\Delta _2}:[2m + 6]x + y - 2m - 1 = 0.\end{array}\]
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - m}\\{2m + 6}&1\end{array}} \right|\\ = 4.1 - [ - m][2m + 6]\\ = 2{m^2} + 6m + 4 = 2[m + 1][m + 2].\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m}&{4 - m}\\1&{ - 2m - 1}\end{array}} \right| \\= [ - m][ - 2m - 1] - 1.[4 - m] \\= 2{m^2} + 2m - 4\\ = 2[m - 1][m + 2].\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - m}&4\\{ - 2m - 1}&{2m + 6}\end{array}} \right|\\ = [4 - m][2m + 6] - 4[ - 2m - 1]\\ = - 2{m^2} + 10m + 28\\ = - 2[m - 7][m + 2].\end{array}\]
- Xét \[D \ne 0 \Leftrightarrow 2[m + 1][m + 2] \ne 0\] \[ \Leftrightarrow m \ne - 1\] và \[m \ne - 2\]. Khi đó \[{\Delta _1}, {\Delta _2}\] cắt nhau và giao điểm của \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có tọa độ
\[\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2[m - 1][m + 2]}}{{2[m + 1][m + 2]}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ - 2[m - 7][m + 2]}}{{2[m + 1][m + 2]}} = \dfrac{{7 - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.\].
- Xét \[D = 0 \Leftrightarrow 2[m + 1][m + 2] = 0 \] \[ \Leftrightarrow m = - 1\] hoặc \[m = - 2\].
Với \[m=-1\] thì \[{D_x} = 2[ - 2].1 = - 4 \ne 0\]. Khi đó \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] song song.
Với \[m=-2\] thì \[D = {D_x} = {D_y} = 0\]. Khi đó \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] trùng nhau.