Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC cạnh đáy bằng a. Lấy điểm B1thuộc BB, điểm C1thuộc CC. Đặt \[B{B_1} = x,C{C_1} = y\].
a] Tam giác AB1C1có thể vuông ở A được không? Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để AB1C1là tam giác vuông tại B1.
b] Giả sử AB1C1là tam giác thường và B1là trung điểm của BB, y = 2x và α là góc giữa mp[ABC] và mp[AB1C1]. Hãy tính diện tích tam giác AB1C1và độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho.
Lời giải chi tiết
a] Tam giác AB1C1vuông ở A khi và chỉ khi
\[{B_1}C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2\]
Mặt khác
\[\eqalign{ & {B_1}C_1^2 = {a^2} + {\left[ {x - y} \right]^2} \cr & AB_1^2 = {a^2} + {x^2} \cr & AC_1^2 = {a^2} + {y^2} \cr} \]
Do đó tam giác AB1C1vuông ở A khi và chỉ khi
\[\eqalign{ & {a^2} + {\left[ {x - y} \right]^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {x^2} + {y^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = - {a^2} \cr} \]
Điều này không xảy ra. Vậy tam giác AB1C1không thể vuông tại A được.
Tam giác AB1C1vuông tại B1khi và chỉ khi
\[\eqalign{ & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2 \cr & \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left[ {x - y} \right]^2} \cr & \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \]
Đó là hệt thức liên hệ giữa a, x, y để tam giác AB1C1vuông tại B1.
b] Khi B1là trung điểm của BB, y = 2x thì C1trùng với C.
Gọi \[I = BC \cap {B_1}C'\] thì \[AI = \left[ {A{B_1}C'} \right] \cap \left[ {ABC} \right]\].
Vì \[{B_1}B = {1 \over 2}BB'\] nên BI = BC, từ đó ta có IAC là tam giác vuông tại A, tức là \[AC \bot AI\].
Mặt khác, \[C'C \bot \left[ {ABC} \right]\] nên \[AC' \bot AI\] [định lí ba đường vuông góc].
Như vậy \[\widehat {C'AC}\] là góc giữa mp[AB1C] và mp[ABC].
Theo giả thiết thì \[\widehat {C'AC} = \alpha \]
Từ đó \[{S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \alpha \]
tức là \[{S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \alpha }}\]
Như vậy \[{S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {4\cos \alpha }}\]
Ta có: \[CC' = AC\tan \alpha = a\tan \alpha \]
Vậy độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho là \[a\tan \alpha \].