Đề bài
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [ABC] kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc , \[M A\], gọi K là trực tâm của tam giác MBC và 1là đường thẳng đi qua K và vuông góc với mặt phẳng [MBC]. Chứng minh rằng:
a] 1đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên .
b] 1cắt tại điểm N và BM vuông góc với CN, CM vuông góc với BN. Xác định vị trí điểm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất.
Lời giải chi tiết
a] Gọi I là trung điểm của BC thì \[AI \bot BC,MI \bot BC\]. Vậy K thuộc MI. Ta cũng có \[BC \bot \left[ {MAI} \right]\]. Do 1đi qua K và \[{\Delta _1} \bot \left[ {MBC} \right]\] nên \[{\Delta _1} \bot BC\]. Vậy 1nằm trong mp[MAI]. Gọi giao điểm của 1với AI là H thì \[HK \bot MC\], mặt khác \[BK \bot MC\], từ đó MC vuông góc với [BHK] hay \[MC \bot BH\].
Từ \[\Delta \bot \left[ {ABC} \right],\,BH \bot MC\] nên \[BH \bot AC\].
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Điều này chứng tỏ khi M thay đổi trên \[\Delta\]thì\[\Delta_1\]đi qua điểm cố định là trực tâm H của tam giác ABC.
b] Vì 1là đường thăngt HK nên 1cắt tại điểm N.
Theo câu a], ta có MC vuông góc với [BHK] mà BN thuộc mặt phẳng này, vậy NB vuông góc với MC.
Tương tự như trên, ta cũng có \[MB \bot NC\]
Từ AHN đồng dạng AMI, ta có \[{{AH} \over {AM}} = {{AN} \over {AI}} \Rightarrow AH.AI = AM.AN\]
Mặt khác \[AH.AI = {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}} \over 2}\] .
do đó \[AM.AN = {{{a^2}} \over 2}\]
Ta có: MN = AM + AN
Vậy MN ngắn nhất khi và chỉ khi \[AM = AN = {{a\sqrt 2 } \over 2}\].
Hệ thức này xác định điểm M để MN có độ dài ngắn nhất.