- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Giải các phương trình sau:
LG a
\[\sin \left[ {{\pi \over 2} + 2x} \right]\cot 3x + \sin \left[ {\pi + 2x} \right] \]\[- \sqrt 2 \cos 5x = 0\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[\sin 3x \ne 0\].
\[\sin \left[ {{\pi \over 2} + 2x} \right]\cot 3x + \sin \left[ {\pi + 2x} \right] \]\[- \sqrt 2 \cos 5x = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over 2} + 2x} \right]\cot 3x + \sin \left[ {\pi + 2x} \right] - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x{{\cos 3x} \over {\sin 3x}} - \sin 2x - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x - \sin 2x\sin 3x - \sqrt 2 \sin 3x\cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 5x\left[ {1 - \sqrt 2 \sin 3x} \right] = 0 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 5x = 0\\
\sin 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy\[x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},x = {\pi \over {12}} + {{2k\pi } \over 3},\]\[x = {\pi \over 4} + {{2k\pi } \over 3}\].
LG b
\[{\tan ^2}x + \cos 4x = 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{\tan ^2}x = {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}}\] và \[\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1.\]
Điều kiện \[\cos 2x \ne - 1,\] phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\[{\tan ^2}x + \cos 4x = 0 \]
\[\Leftrightarrow {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}} = 1 -2 {\cos ^2}2x\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = \left[ {1 - 2{{\cos }^2}2x} \right]\left[ {1 + \cos 2x} \right]\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 2{\cos ^3}2x\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 2x\left[ {{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left[ {VN} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
LG c
\[9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8 \cr
& \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - 8=0 \cr
& \Leftrightarrow 9\left[ {\sin x - 1} \right] - 6\cos x\left[ {\sin x - 1} \right] + 2\left[ {1 - \sin x} \right]\left[ {1 + \sin x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\sin x - 1} \right]\left[ {7 - 6\cos x - 2\sin x} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x - 1 = 0\\
2\sin x + 6\cos x = 7
\end{array} \right.\]
Phương trình \[2\sin x + 6\cos x = 7\] vô nghiệm do \[{2^2} + {6^2} < {7^2}\].
Do đó \[\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \].
LG d
\[{\sin ^4}\left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {\sin ^4}\left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\cr& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left[ {1 - \cos \left[ {2x + {\pi \over 2}} \right]} \right]^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left[ {1 + \sin 2x} \right]^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right] \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left[ {1 + \cos 2x} \right]\left[ {1 - \cos 2x} \right] \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left[ {1 - {{\cos }^2}2x} \right] \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = {\sin ^2}2x\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\]
Vậy\[x = {{k\pi } \over 2}\].
LG e
\[\left[ {2\sin x + 1} \right]\left[ {3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right] + 4{\cos ^2}x = 3\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {2\sin x + 1} \right]\left[ {3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right] + 4{\cos ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 4{\sin ^2}x - 8\sin x \cr&+ 3\cos 4x + 2\sin x - 4 + 4{\cos ^2}x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 3\cos 4x - 6\sin x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {6\sin x\cos 4x - 6\sin x} \right] + \left[ {3\cos 4x - 3} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow 6\sin x\left[ {\cos 4x - 1} \right] + 3\left[ {\cos 4x - 1} \right] = 0\cr& \Leftrightarrow 3 \left[ {2\sin x + 1} \right]\left[ {\cos 4x - 1} \right] = 0 \cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\cos 4x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy\[x = {{k\pi } \over 2},x = - {\pi \over 6} + 2k\pi ,\]\[x = {{7\pi } \over 6} + 2k\pi \].
LG f
\[\sqrt 2 {\sin ^3}\left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = 2\sin x\]
Lời giải chi tiết:
Do \[\sqrt 2 \sin \left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = \sin x + \cos x\] nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\[\sqrt 2 {\sin ^3}\left[ {x + {\pi \over 4}} \right] = 2\sin x \]
\[\Leftrightarrow {\left[ {\sin x + \cos x} \right]^3} = 4\sin x\]
Dễ thấy \[\cos x=0\] không thỏa mãn phương trình trên.
Với điều kiện \[\cos x \ne 0,\] ta chia hai vế của phương trình cho \[{\cos ^3}x\ne 0\] ta được:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {\sin x + \cos x} \right]^3} = 4\sin x\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left[ {\sin x + \cos x} \right]}^3}}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{4\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
\Leftrightarrow {\left[ {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} \right]^3} = \frac{{4\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow {\left[ {\tan x + 1} \right]^3} = 4\tan x\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right]\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left[ {\tan x - 1} \right] + \left[ {\tan x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\tan x - 1} \right]\left[ {3{{\tan }^2}x + 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \tan x - 1 = 0\,\,\left[ {do\,3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right]\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\]
Vậy\[x = {\pi \over 4} + k\pi \].