- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng nếu ba số phức \[{z_1},{z_2},{z_3}\]thỏa mãn
\[\left\{ \matrix{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1 \hfill \cr{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 \hfill \cr} \right.\]
Thì một trong ba số đó phải bằng 1
Giải chi tiết:
Viết \[1 - {z_1} = {z_2} + {z_3}\]
Nếu \[{z_1} = 1\] thì \[{z_2} + {z_3} = 0\]
Nếu \[{z_1} \ne 1\] thì \[1 - {z_1} \ne 0\], điểm P biểu diễn số \[1 + \left[ { - {z_1}} \right] = {z_2} + {z_3}\] không trùng với O nên do \[1 = \left| { - {z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\], đường trung trực OP cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm biểu diễn \[1, - {z_1}\] và cũng là hai điểm biểu diễn \[{z_2},{z_3}\] [h.4.7]. Vậy \[{z_2} = 1,{z_3} = - {z_1}\] hoặc \[{z_2} = - {z_1},{z_3} = 1\]. Tóm lại hoặc \[{z_1} = 1\] hoặc \[{z_2} = 1\] hoặc\[{z_3} = 1\] và tổng hai số z còn lại bằng 0
LG b
Giải hệ phương trình ba ẩn phức\[{z_1},{z_2},{z_3}\]sau:
\[\left\{ \matrix{ \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1 \hfill \cr{z_1}{z_2} + {z_3} = 1 \hfill \cr{z_1}{z_2}{z_3} = 1 \hfill \cr} \right.\]
Giải chi tiết:
Từ hai phương trình đầu của hệ, theo câu a] có thể coi \[{z_1} = 1,{z_2} + {z_3} = 0\]. Khi đó điều kiện \[z_1z_2z_3=1\] kéo theo hoặc \[{z_2} = i,{z_3} = - i\] hoặc \[{z_2} = - i,{z_3} = i.\]. Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ ba \[\left[ {1,i, - i} \right]\]