- LG a
- LG b
LG a
Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A[1;1;1], B[-1;2;0], C[2;-3;2].
Lời giải chi tiết:
Điểm M[x ; y ; z] cách đều ba điểm A, B,Ckhi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ M{A^2} = M{B^2} \hfill \cr M{A^2} = M{C^2} \hfill \cr} \right.\]
Vậy tập hợp điểm M[x; y; z] là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình [1] và [2]. Đường thẳng đó có phương trình là:
\[\left\{ \matrix{ x = - 8 - 3t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 15 + 7t \hfill \cr} \right.\]
Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
LG b
Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A[1;1;0].
Lời giải chi tiết:
Xét điểm M[x ; y ; z]. Khi đó khoảng cách dxtừ M tới trục Ox là
\[{d_x} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \sqrt {{y^2} + {z^2}} .\]
khoảng cách dy từ M tới trục Oy là
\[{d_y} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow j } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} .\]
Mặt khác \[MA = \sqrt {{{[x - {\rm{ 1}}]}^2} + {\rm{ }}{{\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ 1}}} \right]}^2} + {\rm{ }}{z^2}.} \]
Vậy M là một điểm của quỹ tích khi
\[\left\{ \matrix{ {y^2} + {z^2} = {x^2} + {z^2} \hfill \cr {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2[x + y] + 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {y^2} [1] \hfill \cr {x^2} - 2[x + y] + 2 = 0. [2] \hfill \cr} \right.\]
Từ [1] suy ra x = y hoặc x = -y.
Khi x = y, phương trình [2] có dạng: \[{x^2} - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 .\]
Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm [x; y; z] mà:
\[\left\{ \matrix{ x = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 + \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\] [3] và \[\left\{ \matrix{ x = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr y = 2 - \sqrt 2 \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\] [4]
Khi \[x = - y\], phương trình [2] trở thành: \[{x^2} + 2 = 0\]. Điều này không xảy ra.
Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình [3] và [4]