- LG 1
- LG 2
- LG 3
Cho tam giácAIBcóIA = IB = 2a,\[\widehat {AIB}\] =1200. Trên đường thẳng \[\Delta \] vuông góc vớimp[AIB]tạiI, lấy các điểmCvàDsao choABClà tam giác vuông,ABDlà tam giác đều.
LG 1
Tính thể tích và diện tích toàn phần cửa tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
Vì IA = IB = 2a, \[\widehat {AIB}\] =1200nên \[A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} - 2IA.IB.\cos \] \[\widehat {AIB}\] =12a2, từ đó \[AB = 2a\sqrt 3 \]. Do \[CD \bot mp[AIB]\] tạiI, IA = IBnênCA = CB. Kết hợp với giả thiếtABClà tam giác vuông, ta cóABClà tam giác vuông tạiCvà \[CA = CB = {{AB} \over {\sqrt 2 }} = a\sqrt 6 .\]
VìABDlà tam giác đều nên \[AD = AB = 2a\sqrt 3 .\]
Từ đó \[C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = 6{a^2} - 4{a^2} = 2{a^2},\] tức là \[CI = a\sqrt 2 ,\]
\[D{I^2} = A{D^2} - A{I^2} = 12{a^2} - 4{a^2} = 8{a^2},\] tức là \[DI =2 a\sqrt 2 ,\]
\[ \bullet \] Hai điểmC, Dthuộc đường thẳng \[\Delta \] vuông góc vớimp[AIB]tại điểmInên có hai trường hợp xảy ra.
+] Trường hợp 1. C, Dnằm về hai phía đối với điểmI.
Dễ thấy \[CD = 3a\sqrt 2 \], từ đó \[C{D^2} = 18{a^2}\]; mặt khác \[A{C^2} + A{D^2} = 18{a^2},\] tức là \[C{D^2} = A{C^2} + A{D^2}.\] Như vậy \[\widehat {CAD}\] = 900. Tương tự ta cũng có \[\widehat {CBD}\] = 900.
\[{V_{ABCD}} = {V_{D.AIB}} + {V_{C.AIB}}\]
\[= {1 \over 3}.{1 \over 2}AI.BI\sin \widehat {AIB}.[ID+IC]\]
\[ = {1 \over 3}.{1 \over 2}.2a.2a.{{\sqrt 3 } \over 2}.3a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 6 .\]
Gọi \[{S_{tp}}\] là diện tích toàn phần của tứ diệnABCDthì
\[\eqalign{ {S_{tp}} &= {S_{ACD}} + {S_{BCD}} + {S_{ABC}} + {S_{ABD}} \cr & = 2.{1 \over 2}CD.AI + {{A{C^2}} \over 2} + {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr & = 3a\sqrt 2 .2a + {1 \over 2}.6{a^2} + 12{a^2}.{{\sqrt 3 } \over 4} \cr & = 6{a^2}\sqrt 2 + 3{a^2} + 3{a^2}\sqrt 3 \cr & = 3{a^2}[1 + \sqrt 3 + 2\sqrt 2 ] \cr} \]
+] Trường hợp 2. C, Dnằm về một phía đổi với điểmI.
\[\eqalign{ & {V_{ABCD}} = {V_{DAIB}} - {V_{CAIB}} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}, \cr & {S_{tp}} = 2{a^2}\sqrt 2 + 3{a^2} + 3{a^2}\sqrt 3 \cr & \;\;\;\;\;\;= {a^2}[3 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 3 ]. \cr} \]
LG 2
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
+] Trường hợp 1.
Vì \[\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\] = 900nênCDlà đường kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD, từ đó bán kính mặt cầu phải tìm bằng \[{{3a\sqrt 2 } \over 2}\] và diện tích mặt cầu bằng \[18\pi {a^2}.\]
+] Trường hợp 2.
GọiJlà trung điểm củaABthìJA = JB = JC.
Xét đường thẳng \[{\Delta _1}\] đi quaJvà vuông góc vớimp[ABC].
Khi đó, mọi điểm thuộc \[{\Delta _1}\] cách đều các điểmA, B, Cvà \[{\Delta _1}\] nằm trongmp[CDJ][ domp[CDJ]vuông góc vớimp[ABC]].
Trongmp[CDJ],đường trung trực củaCDcắt \[{\Delta _1}\] tại điểm O thìOA = OB = OC = OD = R.
Ta có \[{\rm{IJ}} = a,CJ = a\sqrt 3 .\] Kẻ \[OH \bot IJ\] thì
\[OH = IK = {{3a\sqrt 2 } \over 2}.\] Xét các tam giác ICJ và HJO, ta có sin C = sin J hay \[{{{\rm{IJ}}} \over {JC}} = {{OH} \over {JO}}.\] Vậy \[JO = {{OH.JC} \over {{\rm{IJ}}}} = {{{{3a\sqrt 2 } \over 2}.a\sqrt 3 } \over a} = {{3a\sqrt 6 } \over 2}.\]
Từ đó \[O{C^2} = C{J^2} + J{O^2} = 3{a^2} + {{54{a^2}} \over 4} = {{66{a^2}} \over 4}.\]
Vậy diện tích mặt cầu phải tìm là \[66\pi {a^2}.\]
LG 3
Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
+] Trường hợp 1.
Gọirlà bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diệnABCDthì dễ thấy \[r = {{3{V_{ABCD}}} \over {{S_{tp}}}},\] từ đó
\[\eqalign{ r = &{{3{a^3}\sqrt 6 } \over {3{a^2}[1 + \sqrt 3 + 2\sqrt 2 ]}} \cr & = {{a\sqrt 6 } \over {1 + \sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}. \cr} \]
+] Trường hợp 2.
\[r = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {{a^2}\left[ {3 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 3 } \right]}} = {{a\sqrt 6 } \over {3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}.\]