Đề bài
Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho\[{\rm{cos}}a.c{\rm{os}}b.c{\rm{os}}c \ne 0\]. Tìm phần ảo của số phức.
\[\left[ {1 + i\tan a} \right]\left[ {1 + i\tan b} \right]\left[ {1 + i\tan c} \right]\]
Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì:
\[{\rm{tana}} + \tan b + \tan c = t{\rm{ana}}.\tan b.\tan c\]
Khi và chỉ khi\[a + b + c = k\pi \left[ {k \in R} \right]\]
Lời giải chi tiết
Phần ảo của số phức \[\left[ {1 + i{\mathop{\rm tana}\nolimits} } \right]\left[ {1 + i{\mathop{\rm tanb}\nolimits} } \right]\left[ {1 + i{\mathop{\rm tanc}\nolimits} } \right]\] bằng
\[\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c\]
Vậy \[\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c\] khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của \[\pi \]
Mặt khác , \[1 + i\tan a = {1 \over {{\rm{cos}}a}}\left[ {{\rm{cos}}a + i\sin a} \right]\] có acgumen là \[a + l\pi \] [l là số nguyên bất kì]; tương tự cho \[1 + i\tan b;1 + i\tan c\]. Vậy
\[\left[ {1 + i\tan a} \right]\left[ {1 + i\tan b} \right]\left[ {1 + i\tan c} \right]\] có acgumen là \[a + b + c + m\pi ,m \in Z\]
Kết luận: \[\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c \]
\[\Leftrightarrow a + b + c = k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]