- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng phương trình
\[{x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}} = 0\]
Có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}}\] liên tục trên R \[f\left[ 0 \right] = - {1 \over {100}} < 0.\] Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty \] nên với một số dương b đủ lớn, ta có \[f\left[ b \right] > 0.\] Vì \[f\left[ 0 \right]f\left[ b \right] < 0\] nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \[c \in \left[ {0;b} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0.\]
Vậy \[x = c\] là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho.
LG b
Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình
\[{x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\]
Có ít nhất một nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + a{x^2} + bx + c\] liên tục trên R ;
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty .\]
Do đó tồn tại giá trị \[x_1\in R\] sao cho \[f[x_1]0\]
Khi đó ta có: \[f[x_1].f[x_2]