\[p = 1 + h\] với \[h = p - 1 > 0\] và \[{1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left[ {1 + h} \right]^n} \ge 1 + nh\] với mọi n
Đề bài
Chứng minh rằng nếu \[\left| q \right| < 1\] thì \[\lim {q^n} = 0\]
H.D. Xét trường hợp \[0 < q < 1.\] Khi đó \[p = {1 \over q} > 1.\] Do đó
\[p = 1 + h\] với \[h = p - 1 > 0\] và \[{1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left[ {1 + h} \right]^n} \ge 1 + nh\] với mọi n
Lời giải chi tiết
Chỉ cần chứng minh cho trường hợp \[0 < q < 1.\] Khi đó, đặt \[p = {1 \over q},\] ta được \[p > 1.\] Do đó
\[p = 1 + h\] với \[h = p - 1 > 0\]
Ta có
\[{1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left[ {1 + h} \right]^n} \ge 1 + nh > nh\] với mọi n
Do đó
\[0 < {q^n} < {1 \over h}.{1 \over n}\] với mọi n
Vì \[\lim {1 \over n} = 0\] nên từ đó suy ra
\[\lim {q^n} = 0\]