- LG a
- LG b
- LG c
Cho hai dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] và \[\left[ {{v_n}} \right]\]. Chứng minh rằng
LG a
Nếu \[{u_n} \le {v_n}\] với mọi n và \[\lim {u_n} = + \infty \] thì \[{{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = + \infty \]
Lời giải chi tiết:
Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn \[ + \infty \]
LG b
Nếu \[\lim {u_n} = L \in R\] và \[\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \] thì \[\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \] nên \[\lim {1 \over {{v_n}}} = 0.\] Do đó
\[\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \lim \left[ {{u_n}.{1 \over {{v_n}}}} \right] = \left[ {\lim {u_n}} \right]\lim {1 \over {{v_n}}} = L.0 = 0\]
LG c
Nếu \[\lim {u_n} = + \infty \] [hoặc \[ - \infty \]] và \[\lim {v_n} = L \in R\] thì \[\lim \left[ {{u_n} + {v_n}} \right] = + \infty \] [hoặc \[ - \infty \]]
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[\lim {u_n} = + \infty \]và \[\lim {v_n} = L.\] Khi đó
\[{u_n} + {v_n} = {u_n}\left[ {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right]\]
Theo b], ta có \[\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\]. Vì \[\lim {u_n} = + \infty \] và \[\lim \left[ {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right] = 1 > 0\] nên \[\lim \left[ {{u_n} + {v_n}} \right] = + \infty \]
Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng
a] Nếu dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] bị chặn [tức là tồn tại một số dương M sao cho \[\left| {{u_n}} \right| \le M\] với mọi n] và \[\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty \] thì \[\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0\]
b] Nếu \[\lim {u_n} = + \infty \][hay \[ - \infty \]] và \[\left[ {{v_n}} \right]\] là một dãy số bị chặn thì
\[\lim \left[ {{u_n} + {v_n}} \right] = + \infty \] [hay \[ - \infty \]]