Đề bài
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho \[\overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow {J{\rm{A}}} = k\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {K{\rm{A}}} = k\overrightarrow {K{\rm{D}}} \] trong đó k là số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng:
a] MN IJ và MN IK
b] AB CD
Lời giải chi tiết
a] Từ
\[\eqalign{ & \overrightarrow {IB} = k\overrightarrow {IC} \cr & \overrightarrow {J{\rm{A}}} = k\overrightarrow {JC} \cr} \]
ta có IJ // AB.
Tương tự, ta có IK // CD.
Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và N là trung điểm của CD nên NA = NB.
Mặt khác MA = MB do đóMN AB, suy raMN IJ.
Tương tự như trên, ta có MN CD và IK // CD nên MN JK.
b] Ta có \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NB} \].
Từ giả thiết, ta có:
\[AN \bot C{\rm{D}}\] tức là \[\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\];
\[BN \bot C{\rm{D}}\] tức là \[\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\].
Vậy \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \left[ {\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NB} } \right].\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\] tức là \[AB \bot C{\rm{D}}\] .