Đề bài
Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACCA, BCCB, ABBA.
a] Chứng minh rằng: IJ // [ABBA], JK // [ACCA], IK // [BCC'B].
b] Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy tại một điểm O.
c] Mặt phẳng [IJK] song song với mặt đáy của hình lăng trụ.
d] Gọi G, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng ba điểm G, O, G thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
[h.107]
a] Ta có IJ là đường trung bình của tam giác CAB, nên IJ // AB. Mà AB nằm trên mp[ABBA]. Vậy IJ // [ABBA].
Chứng minh tương tự, ta có:
JK // [ACCA], IK // [BCCB]
b] Xét ba mặt phẳng [CAB], [ABC], [BAC]. Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {C'AB} \right] \cap \left[ {A'BC} \right] = BI \cr
& \left[ {C'AB} \right] \cap \left[ {B'AC} \right] = {\rm{AJ}} \cr
& \left[ {B'AC} \right] \cap \left[ {A'BC} \right] = CK \cr} \]
Vậy theo định lí giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng BI, AJ, CK đồng quy tại một điểm.
c] Theo câu a], ta có
\[\left. \matrix{
{\rm{IJ}}//AB \hfill \cr
JK//AC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left[ {{\rm{IJ}}K} \right]//\left[ {ABC} \right]\]
d] Dễ thấy O là trọng tâm tam giác CAB. Gọi M là giao điểm của CO với AB thì M là trung điểm của AB. Vậy ba điểm M, G, C thẳng hàng.
Vì O và G lần lượt là trọng tâm của hai tam giác CAB và CAB nên ta có:
\[{{MO} \over {MC'}} = {{MG} \over {MC}} = {1 \over 3} \Rightarrow OG//CC'\,\,[1]\]
Chứng minh tương tự OG // CC [2]
Từ [1] và [2] suy ra ba điểm O, G, G thẳng hàng.