Đề bài
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp[DBC]. Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng:
a] \[mp\left[ {A{\rm{D}}E} \right] \bot mp\left[ {ABC} \right]\] và \[mp\left[ {BFK} \right] \bot mp\left[ {ABC} \right]\].
b] \[HK \bot mp\left[ {ABC} \right]\]
Lời giải chi tiết
a] Vì \[A{\rm{D}} \bot \left[ {DBC} \right]\] nên \[A{\rm{D}} \bot BC\].
Mặt khác \[A{\rm{E}} \bot BC\]. Vậy \[BC \bot \left[ {A{\rm{D}}E} \right]\], từ đó ta có \[\left[ {ABC} \right] \bot \left[ {A{\rm{D}}E} \right]\].
Vì K là trực tâm tam giác DBC nên \[BK \bot AC\]. Theo giả thiết \[A{\rm{D}} \bot \left[ {DBC} \right]\], vậy \[BK \bot AC\] [định lí ba đường vuông góc]. Kết hợp với \[BF \bot AC\] ta có \[AC \bot \left[ {BFK} \right]\], từ đó \[mp\left[ {ABC} \right] \bot mp\left[ {BFK} \right]\].
b] Từ câu a], ta có
\[\eqalign{ & mp\left[ {BFK} \right] \bot mp\left[ {ABC} \right] \cr & mp\left[ {A{\rm{D}}E} \right] \bot mp\left[ {ABC} \right] \cr & HK = mp\left[ {A{\rm{D}}E} \right] \cap mp\left[ {BFK} \right] \cr} \]
Vậy \[HK \bot mp\left[ {ABC} \right]\].