Đề bài
Qua tâm \[O\] của hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a,\] kẻ đường thẳng \[l\] cắt cạnh \[AB\] và \[CD\] lần lượt tại \[M\] và \[N.\] Biết \[MN = b.\] Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \[l\] theo \[a\] và \[b\] [\[a\] và \[b\] có cùng đơn vị đo]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh các tam giác bằng nhau:
\[ APM = CRN\] [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ BQM = DSN\] [cạnh huyền, góc nhọn]
Sau đó, tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \[l\] theo\[a\] và \[b.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[h_1\]và \[h_2\]là khoảng cách từ đỉnh \[B\] và đỉnh \[A\] đến đường thẳng \[l\]; gọi tổng khoảng cách là \[S.\]
Vì \[O\] là tâm đối xứng của hình vuông.
\[ OM = ON,OA=OC\] [tính chất đối xứng tâm]
Suy ra: \[AM = CN\] [đối xứng qua \[O\]]
\[\widehat {AMP} = \widehat {DNS}\] [đồng vị]
\[\widehat {DNS} = \widehat {CNR}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}\]
Suy ra: \[ APM = CRN\] [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ CR = AP =h_2\]
\[AM = CN\] [hai cạnh tương ứng]
\[ BM = DN\]
\[\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}\] [so le trong]
Suy ra: \[ BQM = DSN\] [cạnh huyền, góc nhọn] \[ DS = BQ =h_1\]
\[\eqalign{ & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}} = {1 \over 4}{a^2}\,[1] }\]
\[\eqalign{{S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} }\]
\[\eqalign{= {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} }\]
\[\eqalign{= {b \over 4}\left[ {{h_1} + {h_2}} \right]\,[2] }\]
Từ \[[1]\] và \[[2]:\] \[{h_1} + {h_2} = \dfrac{{{a^2}}}{b}\]
\[S = 2\left[ {{h_1} + {h_2}} \right] = \dfrac{{2{a^2}} }{ b}\]