Đề bài
Chứng minh rằng: \[{n^2}\left[ {n + 1} \right] + 2n\left[ {n + 1} \right]\] luôn chia hết cho \[6\] với mọi số nguyên \[n\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.
+] Chứng minh chia hết cho \[2\], chia hết cho \[3\].
Lưu ý: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \[2\] và tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \[3.\]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{n^2}\left[ {n + 1} \right] + 2n\left[ {n + 1} \right]\]\[=[n+1][n^2+2n]=[n+1]n[n+2]\] \[ = n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right]\]
Vì \[n \] và \[n+1 \] là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2\[n\left[ {n + 1} \right] \vdots \;2\]
Lại có \[n, n+1, n+2\] là \[3\] số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3\[n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right] \vdots \;3\]
Mà \[ƯCLN \left[ {2;3} \right] = 1\]
Vậy \[n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right] \vdots \left[ {2.3} \right]\] hay\[n\left[ {n + 1} \right]\left[ {n + 2} \right] \vdots \,6.\]