Đề bài
Cho đường tròn \[[O ; 15cm],\] dây \[AB = 24cm.\] Một tiếp tuyến song song với \[AB\] cắt các tia \[OA,\] \[OB\] theo thứ tự ở \[E, F.\] Tính độ dài \[EF.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+] Sử dụngđịnh lý Ta-lét.
Lời giải chi tiết
Gọi \[C\] là tiếp điểm của \[EF\] với đường tròn \[[O],\] \[H\] là giao điểm của \[OC\] và \[AB.\] Ta có
\[OC \bot EF\] [tính chất tiếp tuyến] và \[AB // EF\] [gt] nên \[OC \bot AB\] tại H.
Xét đường tròn [O] có\[OC \bot AB\] tại H nên H là trung điểm của AB [đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy]
Suy ra \[HB=\dfrac{AB}2 = 12 cm\]
Xét tam giác OHB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:
\[O{B^2} = O{H^2} + H{B^2}\]
\[\Rightarrow O{H^2} = O{B^2} - H{B^2}\]
\[ \Leftrightarrow O{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\]
\[\RightarrowOH = 9 cm.\]
Vì \[AH//EC\] nên\[\dfrac{{OH}}{{OC}} = \dfrac{{OA}}{{OE}}\] [định lý Ta-lét]
Vì \[AB//EF\] nên\[\dfrac{{AB}}{{EF}} = \dfrac{{OH}}{{OC}}\] [hệ quả định lý Ta-lét]
Suy ra \[\displaystyle {{OH} \over {OC}} = {{AB} \over {EF}}\] ,
tức là \[\displaystyle{9 \over {15}} = {{24} \over {EF}}\].
\[ \Rightarrow EF = \dfrac{{24.15}}{9} = 40cm\]