- LG câu a
- LG câu b
Chứng minh các đẳng thức:
LG câu a
\[\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \]
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{\left[ {a + b} \right]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
\[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = A\] với [\[A \ge 0\]]
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \Rightarrow 2 > \sqrt 3 > 0\]
Suy ra:\[\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } > 0\]
Ta có:
\[{\left[ {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right]^2}\]\[ = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 - \sqrt 3 } + 2 - \sqrt 3 \]
\[ = 4 + 2\sqrt {4 - 3} = 4 + 2\sqrt 1 = 4 + 2 = 6\]
\[{\left[ {\sqrt 6 } \right]^2} = 6\]
Vì \[{\left[ {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right]^2} = {\left[ {\sqrt 6 } \right]^2}\] nên \[\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \]
LG câu b
\[\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}}}} - \sqrt {\dfrac{4}{{{{\left[ {2 + \sqrt 5 } \right]}^2}}}} = 8\]
Phương pháp giải:
Áp dụng
Với\[A \ge 0;B > 0\]
\[\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\]
\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Với\[A \ge 0\] suy ra\[\left| A \right| = A\]
Với\[A < 0\] suy ra\[\left| A \right| =- A\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}}}} - \sqrt {\dfrac{4}{{{{\left[ {2 + \sqrt 5 } \right]}^2}}}} \\
= \dfrac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 5 } \right]}^2}} }} - \dfrac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt {{{\left[ {2 + \sqrt 5 } \right]}^2}} }}\\
= \dfrac{2}{{\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - \dfrac{2}{{\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}}
\end{array}\]
Do\[\sqrt 5 > 2\] nên
\[\begin{array}{l}
\dfrac{2}{{\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - \dfrac{2}{{\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}}\\
= \dfrac{2}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{2}{{2 + \sqrt 5 }}\\
= \dfrac{{2[2 + \sqrt 5 ] - 2\left[ {\sqrt 5 - 2} \right]}}{{[\sqrt 5 - 2][\sqrt 5 + 2]}}\\= \dfrac{{4 + 2\sqrt 5 - 2 {\sqrt 5 + 4}}}{{5-4}}\\
= \dfrac{8}{1} = 8
\end{array}\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.