Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho vectơ \[\vec v=[3;1]\]và đường thẳng \[d\]có phương trình \[2x-y=0\]. Tìm ảnh của \[d\]qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \[O\]góc \[{90}^o\]và phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec v\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Cho \[O\] và góc lượng giác \[\alpha\]. Phép biến hình biến \[O\] thành chính nó, biến mỗi điểm \[M\] khác \[O\] thành điểm \[M\] sao cho \[OM=OM\] và góc lượng giác \[[OM;OM]\] bằng \[\alpha\] được gọi là phép quay tâm \[O\] góc \[\alpha\].
- Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm \[M=[x;y]\] và vectơ \[\vec v[a;b]\]. Gọi điểm \[M[x;y]=T_{\vec v}[M]\] khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[d_1\]là ảnh của \[d\]qua phép quay tâm \[O\] góc \[{90}^o\]. Vì \[d\] chứa tâm quay \[O\] nên \[d_1\]cũng chứa \[O\]. Ngoài ra \[d_1\]vuông góc với \[d\]nên \[d_1\]có phương trình \[x+2y=0\].
Gọi \[d\]là ảnh của \[d_1\] qua phép tịnh tiến vectơ \[\vec v\]. Khi đó phương trình của \[d\] có dạng \[x-3+2[y-1]=0\] \[\Leftrightarrow x+2y-5=0\].
Vậy phương trình \[d\] có dạng \[x+2y-5=0\].