Đề bài
Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là \[3 : 4\] và cạnh huyền là \[125cm\]. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}\]
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\].
Khi đó ta có các hệ thức sau:
+] \[A{B^2} = BH.BC\]
+] \[A{C^2} = CH.BC\]
+] \[AB^2+AC^2=BC^2\] [định lý Pytago].
Lời giải chi tiết
Giả sử \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] chiều cao \[AH, BC=125cm\] và \[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\]
Từ \[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3 }{4}\]suy ra: \[\dfrac{{AB}}{{3}} = \dfrac{{AC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{{ 9}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}}\]
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}}\]\[ = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}}\, [1]\]
Theo định lí Pytago, ta có:
\[\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625\,[2] \cr} \]
Từ [1] và [2] suy ra:\[\dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}}\]\[ = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}} = \dfrac{{15625}}{{25}} = 625\]
Suy ra :
\[A{B^2} = 9.625 = 5625\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt {5625} = 75[cm]\]
\[A{C^2} = 16.625 = 10000\]\[ \Rightarrow AC = \sqrt {10000} = 100[cm]\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC\]\[ \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} \]\[= \dfrac{{{{75}^2}}}{{125}} = 45[cm]\]
\[CH = BC - BH\]\[ = 125 - 45 = 80[cm].\]