Đề bài
Cho đường tròn [O], đường kính \[AD = 2R\]. Vẽ cung tâm \[D\] bán kính \[R\], cung này cắt đường tròn [O] ở \[B\] và \[C.\]
a] Tứ giác \[OBDC\] là hình gì? Vì sao?
b] Tính số đo các góc \[CBD, CBO, OBA.\]
c] Chứng minh rằng tam giác \[ABC\] là tam giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi.
+ Tam giác cân có một góc bằng\[60^\circ \] là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[OB = OC = R\] [vì \[B, C\] nằm trên \[[O ; R]]\]
\[DB = DC = R\] [ vì \[B, C\] nằm trên \[[D ; R]]\]
Suy ra: \[OB = OC = DB = DC.\]
Vậy tứ giác \[OBDC\] là hình thoi.
b] Ta có: \[OB = OD = BD = R\]
\[OBD\] đều \[ \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \]
Vì \[OBDC\] là hình thoi nên:
\[\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = \dfrac{1 }{ 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \]
Tam giác \[ABD\] nội tiếp trong [O] có \[AD\] là đường kính nên:
\[\widehat {ABD} = 90^\circ \]
Suy ra \[\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \]
Nên \[\widehat {OBA} = \widehat {ABD} - \widehat {OBD}\]\[ = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
c] Tứ giác \[OBDC\] là hình thoi nên \[OD BC\] hay \[AD BC\]
Suy ra AD là đường trung trực của BC [vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \[O\in AD\]]
Ta có:
\[AB = AC\] [ tính chất đường trung trực]
Suy ra tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] [1]
Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {OBC} + \widehat {OBA} \]\[= 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \]. [2]
Từ [1] và [2] suy ra tam giác \[ABC\] đều.