Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD.\] Trên các cạnh \[AB,\, BC,\, CD,\, DA\] lấy theo thứ tự các điểm \[E,\, K,\, P,\, Q\] sao cho \[AE = BK = CP = DQ.\] Tứ giác \[EKPQ\] là hình gì ? Vì sao ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi và hình vuông đã học, xác định tứ giác \[EKPQ\] là hình gì.
Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có \[AB = BC = CD = DA\] [do ABCD là hình chữ nhật]
Mà \[AE = BK = CP = DQ\] [gt]
Nên\[AB - AE = BC - BK\]\[ = CD - CP = DA - DQ\]
Suy ra: \[EB = KC = PD = QA\]
- Xét \[ AEQ\] và \[ BKE :\]
\[AE = BK\] [gt]
\[\widehat A = \widehat B = {90^0}\]
\[QA = EB\] [chứng minh trên]
Do đó: \[ AEQ = BKE\, [c.g.c]\] \[ EK = EQ\] [1]
- Xét \[ BKE\] và \[ CPK :\]
\[BK = CP\] [gt]
\[\widehat B = \widehat C = {90^0}\]
\[EB = KC\] [chứng minh trên]
Do đó: \[ BKE = CPK\, [c.g.c]\] \[ EK = KP\] [2]
Xét \[ CPK\] và \[ DQP :\]
\[CP = DQ\] [gt]
\[\widehat C = \widehat D = {90^0}\]
\[DP = CK\] [chứng minh trên]
Do đó: \[ CPK = DQP\, [c.g.c]\] \[ KP = PQ\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[EK = KP = PQ = EQ\]
Tứ giác \[EKPQ\] là hình thoi.
Mặt khác, do\[ AEQ = BKE\, \] [chứng minh trên] nên\[\widehat {BEK} = \widehat {EQA}\]
Xét tam giác EAQ vuông tại A, ta có\[\widehat {QEA} + \widehat {EQA} = {90^0}\]
Nên\[\widehat {QEA} + \widehat {KEB} = {90^0}\]
Lại có:
\[\begin{array}{l}
\widehat {QEA} + \widehat {QEK} + \widehat {KEB} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {QEK} = {180^0} - \left[ {\widehat {QEA} + \widehat {KEB}} \right]\\
\Rightarrow \widehat {QEK} = {180^0} - {90^0} = {90^0}
\end{array}\]
Từ đó hình thoi\[EKPQ\] có 1 góc vuông nên\[EKPQ\] là hình vuông.