Đề bài
Cho \[G\] là trọng tâm của tam giác đều \[ABC.\] Chứng minh rằng:
\[GA = GB = GC.\]
Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập \[26.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí ở bài tập \[26\]: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyếnứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi \[M, N, P\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC, AC, AB.\]
Vì \[ABC\] là tam giác đều nên \[AB = AC = BC.\]
Xét \[ABC\] có \[AB = AC\] nên \[ABC\] cân tại \[A\].
\[ \Rightarrow BN = CP\] [hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập \[26\]]
Ta có:\[GB = \dfrac{2}{3}BN;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP\]
Suy ra \[ GB = GC = \dfrac{2}{3} BN = \dfrac{2}{3} CP\] [1]
Xét \[ABC\] có \[BA = BC\] nên \[ABC\] cân tại \[B\].
\[ \Rightarrow CP = AM\] [hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập \[26\]]
Ta có:\[GA = \dfrac{2}{3}AM;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP\]
Suy ra \[GC = GA = \dfrac{2}{3} CP = \dfrac{2}{3} AM\] [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra: \[GA = GB = GC\] [điều phải chứng minh].