Đề bài
Đố: Vẽ tam giác \[PQR\] có \[PQ = PR =5\,cm\], \[QR = 6\,cm\]. Lấy điểm \[M\] trên đường thẳng \[QR\] sao cho \[PM = 4,5\,cm\]. Có mấy điểm \[M\] như vậy?
Điểm \[M\] có nằm trên cạnh \[QR\] hay không? Tại sao?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lý về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
Lời giải chi tiết
* Vẽ hình:
- Vẽ tam giác \[PQR\] có \[PQ = PR = 5\,cm,\; QR = 6\,cm\].
+ Vẽ đoạn thẳng \[QR = 6\,cm\].
+ Vẽ cung tròn tâm \[Q\] và cung tròn tâm \[R\] bán kính \[5\,cm\]. Hai cung tròn này cắt nhau tại \[P\].
+ Nối \[PQ\] và \[PR\] ta được tam giác cần vẽ.
- Vẽ điểm \[M\]: Vẽ cung tròn tâm \[P\] bán kính \[4,5\,cm\] cắt đường thẳng \[QR\] [nếu có] tại \[M\].
* Chứng minh
\[PQR\] có \[PQ = PR = 5\,cm\] nên \[PQR\] cân tại \[P\]. Từ \[P\] kẻ đường thẳng \[PH QR\].
Xét hai tam giác vuông tại H: \[ΔPHQ\] và \[ΔPHR\] có
\[PH\] chung
\[PQ = PR [ = 5cm]\]
\[ ΔPHQ = ΔPHR\] [cạnh huyền cạnh góc vuông]
\[ HQ = HR\] [Hai cạnh tương ứng]
Mà \[HQ + HR = QR = 6 cm\]
Suy ra \[HQ=HR=QR:2=6:2=3cm\]
+ \[ΔPHR\] vuông tại H có \[PR^2= PH^2+ HR^2\][định lí Py ta go]
\[ PH^2= PR^2 HR^2= 5^2 3^2= 16\]\[ PH = 4cm .\]
Đường vuông góc \[PH = 4cm\] là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR.
Vậy chắc chắn có đường xiên \[PM = 4,5cm\] [vì \[PM = 4,5cm > 4cm]\] kẻ từ P đến đường thẳng QR.
Gọi \[M\] là một điểm nằm trên đường thẳng \[QR\].
Ta có: \[MH, QH, RH\] lần lượt là hình chiếu của \[PM, PQ, PR\] trên \[QR\].
Vì \[PM = 4,5\,cm < PQ\] [hoặc \[PR\]] nên \[MH < QH, MH < RH\].
- Tương tự trên \[RH \] có \[MH < RH\] nên \[M\] nằm giữa hai điểm \[R\] và \[H\].
Do vậy có hai điểm \[M\] thỏa mãn điều kiện đề bài và điểm \[M\] này nằm trên cạnh \[QR\].