Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A[1; 0 ; -1], B[3 ; 4 ; -2], C[4 ; -1; 1], D[3 ; 0 ;3]\].
LG a
Chứng minh rằng \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng [ABC] và chứng minh\[D \notin \left[ {ABC} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; -1]\], \[\overrightarrow {AC} = [3; -1; 2]\]
Ta có: \[ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = [7; -7; -14]=7[1;-1;-2]\]
Gọi \[\overrightarrow n \]là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[ABC]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {1; - 1; - 2} \right]\]
Khi đó phương trình mp \[[ABC]\]: \[[x - 1] - [y - 0] -2[z + 1] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\].
Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng [ABC] ta có:\[3 - 0 - 2.3 - 3 = - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left[ {ABC} \right]\].
Vậy\[A, B, C, D\] không đồng phẳng.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] và tính khoảng cách từ \[D\] đến \[[ABC]\].
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm\[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng\[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\left[ {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right]\] là:\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle d[D, [ABC]]\] =\[\displaystyle {{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \]
LG c
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\].
Phương pháp giải:
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\].
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của mặt cầu:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\]
Mặt cầu đi qua \[A[1; 0; -1]\] ta có:
\[{1^2} + {0^2} + {[ - 1]^2} + 2A - 2C + D = 0 \]
\[\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \][1]
Tương tự, mặt cầu đi qua \[B, C, D\] cho ta các phương trình:
\[6A + 8B - 4C + D + 29 = 0 \] [2]
\[8A - 2B + 2C + D + 18 = 0 \] [3]
\[6A + 6C + D + 18 = 0 \] [4]
Hệ bốn phương trình [1], [2], [3], [4] cho ta: \[A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3\].
Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \[A, B, C, D\] là:\[{x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0\]
Cách khác:
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;4; - 1} \right],\overrightarrow {AD} = \left[ {2;0;4} \right],\] \[\overrightarrow {CB} = \left[ { - 1;5; - 3} \right],\overrightarrow {CD} = \left[ { - 1;1;2} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\] và \[\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0\]
\[ \Rightarrow CB \bot CD,AB \bot AD\]
Nên hai tam giác \[ABD,CBD\] vuông tại \[A,C\].
Gọi \[I\] là trung điểm \[BD\] thì \[IA = IB = ID = IC = \dfrac{{BD}}{2}\] nên \[I\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Mà \[B\left[ {3;4; - 2} \right],D\left[ {4; - 1;1} \right]\] nên \[I\left[ {3;2;\dfrac{1}{2}} \right]\].
Bán kính \[R = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {0 + 16 + 25} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\].
Phương trình mặt cầu: \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - \dfrac{1}{2}} \right]^2} = \dfrac{{41}}{4}\] hay \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0\]
LG d
Tính thể tích tứ diện \[ABCD\].
Phương pháp giải:
\[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[\overrightarrow {AD} = \left[ {2;0;4} \right]\]
\[\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 7.2 - 7.0 - 14.4 = - 42\]
Vậy\[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}.42 = 7\]
Cách khác:
Ta có: \[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left[ {D,\left[ {ABC} \right]} \right]\]
\[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;4; - 1} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {3; - 1;2} \right]\] \[ \Rightarrow AB = \sqrt {4 + 16 + 1} = \sqrt {21} ,\] \[AC = \sqrt {9 + 1 + 4} = \sqrt {14} \].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Rightarrow AB \bot AC\]
\[ \Rightarrow \] tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\] \[ = \dfrac{1}{2}\sqrt {21} .\sqrt {14} = \dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}\].
Mà \[d\left[ {D,\left[ {ABC} \right]} \right] = \sqrt 6 \] nên \[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left[ {D,\left[ {ABC} \right]} \right]\]\[ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 6 = 7\].