Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
LG a
a] \[\displaystyle \int\limits_0^{{\pi \over 24}} {\tan [{\pi \over 4} - 4x]dx} \][đặt \[u = \cos [{\pi \over 3} - 4x]\]]
Phương pháp giải:
Đặt \[\displaystyle u = \cos [{\pi \over 3} - 4x]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[\displaystyle I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\tan \left[ {\frac{\pi }{3} - 4x} \right]dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{{24}}} {\frac{{\sin \left[ {\frac{\pi }{3} - 4x} \right]}}{{\cos \left[ {\frac{\pi }{3} - 4x} \right]}}dx} \]
Đặt\[u = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right]\] \[ \Leftrightarrow du = 4\sin \left[ {\dfrac{\pi }{3} - 4x} \right]dx\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}\\x = \frac{\pi }{{24}} \Rightarrow u =\frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]
Khi đó:\[\displaystyle I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{du}}{{4u}}} = \left. {\frac{1}{4}\ln \left| u \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \] \[\displaystyle = \frac{1}{4}\left[ {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \ln \frac{1}{2}} \right] = \frac{1}{4}\ln \sqrt 3 \]
LG b
b] \[\displaystyle \int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} \][đặt \[\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\]]
Phương pháp giải:
Đặt \[\displaystyle x = {3 \over 5}\tan t\]
Lời giải chi tiết:
Đặt\[x = \dfrac{3}{5}\tan t \] \[ \displaystyle \Leftrightarrow dx = \frac{3}{{5{{\cos }^2}t}}dt = \frac{3}{5}\left[ {{{\tan }^2}t + 1} \right]dt\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{3}{5} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\]
\[\displaystyle I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{5}}^{\frac{3}{5}} {\frac{{dx}}{{9 + 25{x^2}}}} \] \[\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left[ {{{\tan }^2}t + 1} \right]dt}}{{5\left[ {9 + 25.\frac{9}{{25}}{{\tan }^2}t} \right]}}} \]
\[\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left[ {{{\tan }^2}t + 1} \right]}}{{5.9\left[ {{{\tan }^2}t + 1} \right]}}dt} \] \[\displaystyle = \frac{1}{{15}}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \left. {\frac{t}{{15}}} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{{180}}\]
LG c
c] \[\displaystyle \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^3}} x{\cos ^4}xdx\][đặt \[u = \cos x\]]
Phương pháp giải:
Đặt \[u = \cos x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \] \[= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]{{\cos }^4}x\sin xdx} \]
Đặt\[u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow u = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\]
\[\displaystyle\Rightarrow I = - \int\limits_1^0 {\left[ {1 - {u^2}} \right]{u^4}du} \] \[= \int\limits_0^1 {\left[ {{u^4} - {u^6}} \right]du}\]
\[\displaystyleI = \left. {\left[ {\frac{{{u^5}}}{5} - \frac{{{u^7}}}{7}} \right]} \right|_0^1 = \frac{2}{{35}}\]
LG d
d] \[\displaystyle \int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx\][đặt \[u = \sqrt {1 + \tan x} \]]
Phương pháp giải:
Đặt \[u = \sqrt {1 + \tan x} \]
Lời giải chi tiết:
Đặt\[u = \sqrt {1 + \tan x} \Leftrightarrow {u^2} = 1 + \tan x \] \[\displaystyle \Leftrightarrow 2udu = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {u.2udu} = 2\int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^2}du} \] \[\displaystyle = 2\left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{2}{3}.2\sqrt 2 = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\]