- LG a
- LG b
- LG c
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm [nếu có] của chúng
LG a
\[\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = 5 - t \hfill \cr} \right.\]
và
\[\left\{ \matrix{
x = 8 + 6{t'} \hfill \cr
y = 4 - 3{t'} \hfill \cr} \right.;\]
Phương pháp giải:
Nhận xét về các VTCP hạowc VTPT của 2 đường để suy ra vị trí tương đối. Sau đó tìm giao điểm [nếu 2 đường cắt nhau]
Lời giải chi tiết:
a] Xét hai đường thẳng:
\[{d_1}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.;\;{d_2}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 6t'\\y = 4 - 3t'\end{array} \right.\]
Ta có: VTCP của \[{d_1}\]là \[\overrightarrow {{u_1}} = [ - 2;1]\]; VTCP của \[{d_2}\]là \[\overrightarrow {{u_2}} = [6; - 3]\];
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} = - 3\overrightarrow {{u_1}} \]
Vậy hai đường thẳng này song song.
LG b
\[\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 3 + 2t \hfill \cr} \right.\]
và \[{{x - 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
b] Xét hai đường thẳng:
\[{d_1}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.;\;\;\;{d_2}:\;\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 7}}{3}\]
Ta có: VTCP của \[{d_1}\]là \[\overrightarrow {{u_1}} = [1;2]\]; VTCP của \[{d_2}\]là \[\overrightarrow {{u_2}} = [2;3] \ne k.\overrightarrow {{u_1}} \];
Vậy hai đường thẳng cắt nhau.
Gọi I [a,b] là giao điểm nếu có của 2 đường thẳng.
Vì I thuộc cả 2 đường thẳng đã cho nên:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 5 + t = 4 + 2t'\\b = - 3 + 2t = - 7 + 3t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 2t' = - 1\\2t - 3t' = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 5\\t' = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 13\end{array} \right. \Rightarrow I[0, - 13]\end{array}\]
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại I [0,-13]
Cách 2:
Xét đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\] đi qua A[5;-3] và nhận \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {1;2} \right]\] làm VTCP nên có VTPT \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {2; - 1} \right]\]
PTTQ: \[2\left[ {x - 5} \right] - 1\left[ {y + 3} \right] = 0\] hay \[2x - y - 13 = 0\]
+] Xét đường thẳng \[\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y + 7}}{3}\] đi qua B[4;-7] và nhận \[\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {2;3} \right]\] làm VTCP nên có VTPT \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {3; - 2} \right]\]
PTTQ: \[3\left[ {x - 4} \right] - 2\left[ {y + 7} \right] = 0\] hay \[3x - 2y - 26 = 0\]
Vì \[\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}}\] nên hai đt cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
2x - y - 13 = 0 \hfill \cr
3x - 2y - 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 13 \hfill \cr} \right.\]
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M[0, -13]
LG c
\[\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr} \right.\]
và \[x + y - 4 = 0\]
Lời giải chi tiết:
Xét đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\] đi qua A[5;-1] và nhận \[\overrightarrow u = \left[ {1; - 1} \right]\] làm VTCP nên có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {1;1} \right]\]
PTTQ: \[1\left[ {x - 5} \right] + 1\left[ {y + 1} \right] = 0\] hay \[x + y - 4 = 0\]
Vì \[\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 4}}\] nên hai đt trùng nhau.
Cách 2:
Xét hai đường thẳng:
\[{d_1}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 1 - t\end{array} \right.;\;\;\;{d_2}:\;x + y - 4 = 0\]
Ta có: VTCP của \[{d_1}\]là \[\overrightarrow {{u_1}} = [1; - 1]\]; VTPT của \[{d_2}\]là \[\overrightarrow {{n_2}} = [1;1]\];
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} .\;\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} \;\parallel \;\overrightarrow {{u_1}} \]
Vậy hai đường thẳng song song.
Lại có: A[4,0] thuộc cả 2 đường. Vậy 2 đường này trùng nhau.