Đề bài
Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm?
\[{{x + 1} \over {x - a + 1}} = {x \over {x + a + 2}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nhân chéo suy ra phương trình hệ quả.
- Biện luận phương trình thu được suy ra điều kiện vô nghiệm.
Chú ý ĐKXĐ của pt đã cho.
Lời giải chi tiết
Điều kiện: x a 1 và x -a 2
Ta có:
[1] [x + 1][x + a + 2] = x[x a + 1]
x2+ [a + 3]x + a + 2 = x2 [a 1]x
2[a + 1]x = -a 2 [2]
+ Với a = -1 thì [2] là 0x=-1 [vô lí] nên S = Ø.
+ Với a -1 thì\[[2] \Leftrightarrow x = {{ - a - 2} \over {2[a + 1]}}\]
Phương trình đã cho vô nghiệm
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = a - 1 \hfill \cr
x = - a - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ - a - 2} \over {2[a + 1]}} = a - 1 \hfill \cr
{{ - a - 2} \over {2[a + 1]}} = - a - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- a - 2 = 2[{a^2} - 1] \hfill \cr
- [a + 2] = -2[a + 2][a + 1] \hfill \cr} \right.\cr} \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- a - 2 = 2{a^2} - 2\\
a + 2 = 2\left[ {a + 2} \right]\left[ {a + 1} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{a^2} + a = 0\\
\left[ {a + 2} \right]\left[ {2a + 2} \right] - \left[ {a + 2} \right] = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a\left[ {2a + 1} \right] = 0\\
\left[ {a + 2} \right]\left[ {2a + 1} \right] = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
2a + 1 = 0\\
a + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = - \frac{1}{2}\\
a = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[a = 0,a = - \frac{1}{2},a = - 2,a = - 1\] thì pt đã cho vô nghiệm.