- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Chứng minh rằng:
LG a
\[2\sin [{\pi \over 4} + \alpha ]\sin [{\pi \over 4} - \alpha ] = \cos 2\alpha \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
\[\sin a\sin b \]\[= - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {a + b} \right] - \cos \left[ {a - b} \right]} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[2\sin [{\pi \over 4} + \alpha ].sin[{\pi \over 4} - \alpha ] \]
\[ = 2.\left[ { - \frac{1}{2}} \right].[\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \alpha + \frac{\pi }{4} - \alpha } \right]\]\[ - \cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \alpha - \frac{\pi }{4} + \alpha } \right]]\]
\[= - \left[ {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 2\alpha } \right]\]
\[= \cos 2\alpha - \cos {\pi \over 2} = \cos 2\alpha \]
LG b
\[sinα [1 + cos2α] = sin2α cosα\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
\[\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& sin\alpha \left[ {1 + cos2\alpha } \right] \cr&= \sin \alpha [1 + 2{\cos ^2}\alpha - 1] \cr
& = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha \cr& = 2\sin \alpha \cos \alpha .\cos \alpha \cr&= \sin 2\alpha \cos \alpha \cr} \]
LG c
\[{{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \][khi các biểu thức có nghĩa]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
\[\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} \cr &= \frac{{1 + \sin 2\alpha - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right]}}{{1 + \sin 2\alpha + \left[ {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right]}} \cr&= \frac{{1 + \sin 2\alpha - 1 + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 + \sin 2\alpha + 2{{\cos }^2}\alpha - 1}} \cr&= \frac{{\sin 2\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin 2\alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}\cr
& = {{{2\sin \alpha \cos \alpha }+ 2{{\sin }^2}\alpha } \over {{2\sin \alpha \cos \alpha } + 2{{\cos }^2}\alpha }} \cr &= {{2\sin \alpha [cos\alpha + sin\alpha ]} \over {2\cos \alpha [cos\alpha + sin\alpha ]}} \cr&= \tan \alpha \cr} \]
LG d
\[\tan \alpha - {1 \over {\tan \alpha }} = - {2 \over {\tan 2\alpha }}\][khi các biểu thức có nghĩa]
Phương pháp giải:
Biến đổi VP = VT, sử dụng công thức nhân đôi:
\[\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
VP = - \frac{2}{{\tan 2\alpha }}\\
= \left[ { - 2} \right]:\tan 2\alpha \\
= \left[ { - 2} \right]:\frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\\
= \left[ { - 2} \right].\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{2\tan \alpha }}\\
= - \frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{\tan \alpha }}\\
= \frac{{{{\tan }^2}\alpha - 1}}{{\tan \alpha }}
\end{array}\]
\[ = \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{\tan \alpha }} - \frac{1}{{\tan \alpha }} \]
\[= \tan \alpha - \frac{1}{{\tan \alpha }} = VT\]
Vậy VT=VP [đpcm]