Đề bài
Cho đường tròn [O] có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A và B và PQ là đường kính thay đổi của [O] khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N
a. Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b. Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi
Lời giải chi tiết
a. Ta có QB // AP [vì cùng vuông góc với PB] và B là trung điểm của AC nên Q là trung điểm của CM
Ta có AQ // BN [vì cùng vuông góc với AP] và B là trung điểm của AC nên N là trung điểm của CQ
b. Theo câu a] ta có \[\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CQ} \] nên phép vị tự V tâm C tỉ số 2 biến Q thành M
Vì Q chạy trên đường tròn [O] [trừ hai điểm A, B] nên quỹ tích M là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V tâm C tỉ số 2 [trừ ảnh của A, B]
Tương tự, ta có \[\overrightarrow {CN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CQ} \] nên quỹ tích N là ảnh của đường tròn [O] qua phép vị tự V tâm C, tỉ số \[{1 \over 2}\] [trừ ảnh của A, B]