- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Chứng minh rằng \[\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin {\pi \over {12}} = \sin \left[ {{\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right] \cr
& = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr
& = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over 4} \cr
& = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \]
LG b
Giải các phương trình \[2\sin x 2\cos x =1 - \sqrt 3 \] bằng cách biến đổi vế trái về dạng \[C\sin[x + α]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{& 2\sin x - 2\cos x = 1 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos x = - \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left[ {x - {\pi \over 4}} \right] = \sin \left[ { - {\pi \over {12}}} \right] \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 4} = - {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr
{x - {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left[ {k \in\mathbb Z} \right] \cr} \]
LG c
Giải phương trình \[2\sin x 2\cos x =1 - \sqrt 3 \]bằng cách bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Chú ý rằng \[1 - \sqrt 3 < 0\], ta đặt điều kiện \[\sin x \cos x < 0\] rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :
\[\eqalign{& 4\left[ {1 - \sin 2x} \right] = 4 - 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,[k\in\mathbb Z] } \right. \cr} \]
Thử vào điều kiện \[\sin x \cos x < 0\], ta thấy :
* Họ nghiệm \[x = {\pi \over 6} + k\pi \] thỏa mãn điều kiện \[\sin x \cos x < 0\] khi và chỉ khi \[k\] chẵn, tức là \[x = {\pi \over 6} + 2m\pi \] với \[m \in\mathbb Z\].
* Họ nghiệm \[x = {\pi \over 3} + k\pi \] thỏa mãn điều kiện \[\sin x \cos x < 0\] khi và chỉ khi \[k\] lẻ, tức là \[x = {\pi \over 3} + \left[ {2m + 1} \right]\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi \] với\[m \in\mathbb Z\].
Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.