Đề bài
Với mỗi số nguyên dương n, đặt \[{u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\] [1] .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có unchia hết cho 5.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:
+ Chứng minh [1] đúng với \[n=1\].
+ Giả sử[1] đúng với \[n=k\].
+ Chứng minh[1] đúng với \[n=k+1\].
Lời giải chi tiết
+] Với \[n = 1\], ta có:
\[{u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} \]\[= 7 + 3 = 10\vdots\] \[ 5\]
Suy ra [1] đúng khi \[n = 1\].
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k \in \mathbb N^*\], tức là:
\[{u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\]\[\vdots\] \[ 5\]
+] Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Thật vậy, ta có :
\[\eqalign{
& {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left[ {k + 1} \right] - 2}} + {3^{2\left[ {k + 1} \right] - 1}} \cr
&= {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr
& ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left[ {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right] + 5.{3^{2k - 1}} \cr
& = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr} \]
Vì \[u_k \] \[\] \[5\] [theo giả thiết qui nạp], nên suy ra \[{u_{k + 1}}\] chia hết cho \[5\]ta được điều cần chứng minh.