Đề bài
Cho đường tròn [O], điểm I nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến IA, IB với đường tròn [A, B là các tiếp điểm]. Gọi H là giao điểm của IO và AB. Cho biết AB = 24cm, IA = 20cm.
a] Tính độ dài AH, IH, OH.
b] Tính bán kính của đường tròn [O].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và định lí Py-ta-go.
b] Áp dụng định lí Py-ta-go để tính độ dài đoạn \[OA.\]
Lời giải chi tiết
a] Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \[IA = IB,\] \[IO\] là tia phân giác của \[\widehat {AIB}\]
Tam giác \[IAB\] cân tại \[I\] có \[IH\] là đường phân giác nên cũng là đường cao và đường trung tuyến.
Do đó \[AH = HB = \dfrac{{AB}}{2} = 12\left[ {cm} \right].\]
Tính \[IH:\] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[IAH\] ta có :
\[I{H^2} = A{I^2} - A{H^2}\]\[ = {20^2} - {12^2} = 256\]
Suy ra \[IH = 16cm.\]
Tính \[OH:\] Xét tam giác \[OAI\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có :
\[A{H^2} = OH.IH\] hay \[{12^2} = OH.16.\] Do đó \[OH = \dfrac{{{{12}^2}}}{{16}} = 9\left[ {cm} \right].\]
b] Tính \[OA:\] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[AHO\] ta có \[OA = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}} \]\[= \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = \sqrt {225} \left[ {cm} \right].\]
Do đó \[OA = 15cm.\]