Đề bài
Cho \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \[M\], biết \[\widehat {DAB} = {80^0},\]\[\widehat {DAM} = {30^0},\]\[\widehat {BMC} = {70^0}\]. Hãy tính số đo góc \[MAB;\]\[ BCM;\]\[ AMB ; DMC ; AMD ; MCD\] và \[BCD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng các định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng \[180^\circ \]; Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^\circ \].
+ Sử dụng tính chất tam giác cân
Lời giải chi tiết
Nối tâm \[M\] của đường tròn với các đỉnh \[A,B,C,D.\]
Vì \[ABCD\] nội tiếp đường tròn ta có :
\[\widehat {DAB} + \widehat {BCD} = 180^\circ \]\[ \Leftrightarrow \widehat {BCD} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ ;\]
\[\widehat {MAB} = \widehat {DAB} - \widehat {DAM}\]\[ = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ .\]
+ Xét \[\Delta BMC\] cân vì \[MB = MC\]
Ta có \[\widehat {MBC} = \widehat {BCM}\]
\[ \Rightarrow 2\widehat {BCM} = 180^\circ - \widehat {BMC}\]\[ = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ .\] Vậy \[\widehat {BCM} = 55^\circ .\]
+ Xét \[\Delta BMA\] cân vì \[MB = MA.\]
Ta có \[\widehat {MAB} = \widehat {ABM}\]\[ \Rightarrow \widehat {AMB} = 180^\circ - 2.\widehat {MAB}\]\[ = 180^\circ - 2.50^\circ = 80^\circ \] .
Vậy \[\widehat {AMB} = 80^\circ .\]
+ Xét \[\Delta DMA\] cân vì \[MD = MA.\]
Ta có \[\widehat {MAD} = \widehat {ADM}\]\[ \Rightarrow \widehat {AMD} = 180^\circ - 2.\widehat {ADM} \]\[= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]
Vậy \[\widehat {AMD} = 120^\circ .\]
Từ các kết quả trên ta có
\[\widehat {DMC} = 360^\circ - \left[ {\widehat {AMD} + \widehat {AMB} + \widehat {BMC}} \right] \]\[= 360^\circ - \left[ {120^\circ + 80^\circ + 70^\circ } \right] = 90^\circ \]
Vậy \[\widehat {DMC} = 90^\circ \]
Xét \[\Delta DMC\] cân vì \[MD = MC.\] Ta có \[\widehat {MCD} = \widehat {CDM}\]
\[ \Rightarrow 2\widehat {MCD} = 180^\circ - \widehat {DMC} \]\[= 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \].
Vậy \[\widehat {MCD} = 45^\circ ,\widehat {BCD} = 100^\circ .\]