Đề bài
Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
\[ab.\sqrt {\dfrac{a}{b}} ;\,\,\dfrac{a}{b}\sqrt {\dfrac{b}{a}} ;\,\,\sqrt {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ;\]\[\sqrt {\dfrac{{9{a^3}}}{{36b}}} ;\,\,3xy\sqrt {\dfrac{2}{{xy}}} \]
[giả thiết các biểu thức có nghĩa]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nhân tử và mẫu của biểu thức trong căn với mẫu số rồi rút mẫu ra ngoài căn thức:
\[\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \sqrt {\dfrac{{AB}}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\]với \[AB \ge 0;B \ne 0\]
Lời giải chi tiết
a] \[ab\sqrt {\dfrac{a}{b}} = ab\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{b^2}}}} = ab\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\left| b \right|}}\]
Nếu \[b > 0\] thì \[\left| b \right| = b\], ta rút gọn tiếp được :
\[ab\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\left| b \right|}} = ab\dfrac{{\sqrt {ab} }}{b} = a\sqrt {ab} \]
Nếu \[b < 0\] thì \[\left| b \right| = - b\] , ta rút gọn tiếp được :
\[ab\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\left| b \right|}} = ab\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ - b}} = - a\sqrt {ab} \]
b] \[\dfrac{a}{b}\sqrt {\dfrac{b}{a}} = \dfrac{a}{b}\sqrt {\dfrac{{ba}}{{{a^2}}}} = \dfrac{a}{b}\dfrac{{\sqrt {ba} }}{{\left| a \right|}}\]
Nếu \[a > 0\] , khi đó \[\left| a \right| = a\], ta rút gọn tiếp được :
\[\dfrac{a}{b}\dfrac{{\sqrt {ba} }}{{\left| a \right|}} = \dfrac{a}{b}\dfrac{{\sqrt {ba} }}{a} = \dfrac{{\sqrt {ab} }}{b}\]
Nếu \[a < 0\] , khi đó \[\left| a \right| = - a\] , ta rút gọn tiếp được :
\[\dfrac{a}{b}\dfrac{{\sqrt {ba} }}{{\left| a \right|}} = \dfrac{a}{b}\dfrac{{\sqrt {ba} }}{{ - a}} = - \dfrac{{\sqrt {ab} }}{b}\]
c] \[\sqrt {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} \] \[ = \sqrt {\dfrac{{b + 1}}{{{b^2}}}} = \dfrac{{\sqrt {b + 1} }}{{\left| b \right|}} \]\[= \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {b + 1} }}{b}\,[b > 0]\\ - \dfrac{{\sqrt {b + 1} }}{b}\,[b < 0]\end{array} \right.\]
d] \[\sqrt {\dfrac{{9{a^3}}}{{36b}}} = \dfrac{{\sqrt {{a^3}b} }}{{2\left| b \right|}} \]\[= \dfrac{{\left| a \right|\sqrt {ab} }}{{2\left| b \right|}} = \dfrac{{a\sqrt {ab} }}{{2b}}\,\,[ab \ge 0;\,b \ne 0]\]
e] \[3xy\sqrt {\dfrac{2}{{xy}}} = 3xy\sqrt {\dfrac{{2xy}}{{{{\left[ {xy} \right]}^2}}}} = 3xy\dfrac{{\sqrt {2xy} }}{{\left| {xy} \right|}}\]
Vì biểu thức \[3xy\sqrt {\dfrac{2}{{xy}}} \]có nghĩa nên \[xy > 0\] , rút gọn tiếp ta được :
\[3xy\dfrac{{\sqrt {2xy} }}{{\left| {xy} \right|}} = 3xy\dfrac{{\sqrt {2xy} }}{{xy}}=3\sqrt {2xy} \]