Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Gọi M là trung điểm của BC. Tên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CA.
a] Chứng minh rằng tam giác ACE vuông cân.
b] Kẻ AH vuông góc với BC. Đường thẳng kẻ từ E song song với AC cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng AF = BC.
Lời giải chi tiết
a]Xét tam giác AMC và DMB ta có:
AM = DM [giả thiết]
\[\widehat {AMC} = \widehat {DMB}\] [hai góc đối đỉnh]
MC = MB [M là trung điểm của BC]
Do đó: \[\eqalign{ & \Delta AMC = \Delta DMB[c.g.c] \cr & \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {MBD} \cr} \]
Mà hai góc ACM và MBD so le trong nên AC // BD.
Ta có: \[BA \bot AC[\Delta ABC\] vuông tại A]
AC // BD [chứng minh trên]
\[\Rightarrow CD \bot AC\]
Vậy tam giác ACE vuông tại C.
Ta có: tam giác ACE vuông tại C có: CA = CE [giả thiết]
Do đó: tam giác ACE vuông cân tại C.
b] Gọi N là giao điểm của AB và EF.
Ta có: EF // AC [gt], \[AB \bot AC[\widehat {BAC} = {90^0}] \Rightarrow AB \bot EF\]
Xét tam giác NAE vuông tại N và tam giác CEA vuông tại C có:
AE là cạnh chung.
\[\widehat {AEN} = \widehat {EAC}\] [so le trong và EF // AC]
Do đó: \[\Delta NAE = \Delta CEA\] [cạnh huyền - góc nhọn] => AN = CE.
Ta có: AN = CA [= CE].
Xét tam giác NFA và ABC có:
\[\widehat {FNA} = \widehat {BAC}[ = {90^0}]\]
AN = CA
\[\widehat {NAF} = \widehat {ACB}\] [cùng phụ với góc HAC]
Do đó: \[\Delta NFA = \Delta ABC[g.c.g]\] . Vậy AF = BC.