Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng - bài 11 trang 84 sgk hình học 10 nâng cao

LG a

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = 5 - t \hfill \cr} \right.\)

và

\(\left\{ \matrix{
x = 8 + 6{t'} \hfill \cr
y = 4 - 3{t'} \hfill \cr} \right.;\)

Phương pháp giải:

Nhận xét về các VTCP hạowc VTPT của 2 đường để suy ra vị trí tương đối. Sau đó tìm giao điểm (nếu 2 đường cắt nhau)

Lời giải chi tiết:

a) Xét hai đường thẳng:

\({d_1}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.;\;{d_2}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 6t'\\y = 4 - 3t'\end{array} \right.\)

Ta có: VTCP của \({d_1}\)là \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 2;1)\); VTCP của \({d_2}\)là \(\overrightarrow {{u_2}} = (6; - 3)\);

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} = - 3\overrightarrow {{u_1}} \)

Vậy hai đường thẳng này song song.

LG b

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và \({{x - 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

b) Xét hai đường thẳng:

\({d_1}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.;\;\;\;{d_2}:\;\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 7}}{3}\)

Ta có: VTCP của \({d_1}\)là \(\overrightarrow {{u_1}} = (1;2)\); VTCP của \({d_2}\)là \(\overrightarrow {{u_2}} = (2;3) \ne k.\overrightarrow {{u_1}} \);

Vậy hai đường thẳng cắt nhau.

Gọi I (a,b) là giao điểm nếu có của 2 đường thẳng.

Vì I thuộc cả 2 đường thẳng đã cho nên:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 5 + t = 4 + 2t'\\b = - 3 + 2t = - 7 + 3t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 2t' = - 1\\2t - 3t' = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 5\\t' = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 13\end{array} \right. \Rightarrow I(0, - 13)\end{array}\)

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại I (0,-13)

Cách 2:

Xét đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\) đi qua A(5;-3) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\)

PTTQ: \(2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 3} \right) = 0\) hay \(2x - y - 13 = 0\)

+) Xét đường thẳng \(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y + 7}}{3}\) đi qua B(4;-7) và nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;3} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 2} \right)\)

PTTQ: \(3\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y + 7} \right) = 0\) hay \(3x - 2y - 26 = 0\)

Vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}}\) nên hai đt cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
2x - y - 13 = 0 \hfill \cr
3x - 2y - 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 13 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M(0, -13)

LG c

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr} \right.\)

và \(x + y - 4 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\) đi qua A(5;-1) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\)

PTTQ: \(1\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(x + y - 4 = 0\)

Vì \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 4}}\) nên hai đt trùng nhau.

Cách 2:

Xét hai đường thẳng:

\({d_1}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 1 - t\end{array} \right.;\;\;\;{d_2}:\;x + y - 4 = 0\)

Ta có: VTCP của \({d_1}\)là \(\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1)\); VTPT của \({d_2}\)là \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;1)\);

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} .\;\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} \;\parallel \;\overrightarrow {{u_1}} \)

Vậy hai đường thẳng song song.

Lại có: A(4,0) thuộc cả 2 đường. Vậy 2 đường này trùng nhau.