- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
- LG bài 6
Đề bài
Bài 1: [3 điểm] .Thực hiện các phép tính
a] \[2\sqrt {75} - 3\sqrt {27} - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} \].
b] \[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]}^2}} \].
c] \[\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\].
d] \[\left[ {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}} \right].\left[ {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right]\left[ {x > 0;x \ne 4} \right]\].
Bài 2: [2 điểm]Cho hai hàm số bậc nhất \[y = - \dfrac{1}{2}x\] có đồ thị là \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[y = 2x - 5\] có đồ thị là \[\left[ {{d_2}} \right]\]
a] Vẽ \[\left[ {{d_1}} \right],\left[ {{d_2}} \right]\] trên cùng hệ trục tọa độ.
b] Cho đường thẳng \[\left[ {{d_3}} \right]:y = ax + b.\] Tìm \[a,b\] để \[{d_3}//{d_1}\] và cắt \[\left[ {{d_2}} \right]\] tại một điểm có tung độ bằng 3.
Bài 3: [1 điểm].Tìm \[x\] biết \[\sqrt {4x - 20} = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}} - 2\].
Bài 4: [0,5 điểm]Năm nay số dân ở một thành phố A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.
Bài 5: [0,5 điểm]Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \[{30^o}\]. Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \[20m\]. Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? [làm tròn tới phần thập phân thứ nhất].
Bài 6: [3 điểm]Từ điểm \[M\] nằm ở ngoài đường tròn \[\left[ {O,R} \right]\] với \[OM > 2R\], vẽ hai tiếp tuyến \[MA,MB\;\;[A,B\]là hai tiếp điểm]. Gọi \[H\]là giao điểm của \[AB,OM\]
a]Nếu cho \[OM = R\sqrt 5 \]. Tính độ dài đoạn \[MA\] theo \[R\] và số đo \[\angle AOM\] [làm tròn tới độ].
b]Chứng minh bốn điểm \[M,A,O,B\] thuộc một đường tròn.
c]Gọi \[AC\] là đường kính của đường tròn\[\left[ O \right]\], tia \[CH\] cắt đường tròn \[\left[ O \right]\]tại \[N\]. Chứng minh \[4OH.OM = A{C^2}\].
d] Chứng minh rằng đường thẳng \[AN\] đi qua trung điểm của \[MH\]
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}a]\;\;2\sqrt {75} - 3\sqrt {27} - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} = 2\sqrt {{5^2}.3} - 3\sqrt {{3^2}.3} - \dfrac{1}{4}\sqrt {{8^2}.3} \\\;\; = 2.5\sqrt 3 - 3.3\sqrt 3 - \dfrac{1}{4}.8\sqrt 3 = - \sqrt 3 .\end{array}\].
Vậy \[2\sqrt {75} - 3\sqrt {27} - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} = - \sqrt 3 \].
\[\begin{array}{l}b]\;\;\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]}^2}} \\\;\;\;= \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^2} + 2\sqrt 3 + 1} + \left| {\sqrt 3 - 2} \right|\\\;\;\; = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 + 1} \right]}^2}} + \left| {\sqrt 3 - 2} \right| \\\;\;\;= \sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 = 3.\;\;\;\left[ {do\;\;2 > \sqrt 3 } \right]\end{array}\].
Vậy \[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 2} \right]}^2}} = 3\].
\[\begin{array}{l}c]\;\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 \left[ {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right]}}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt 3 \left[ {\sqrt 5 - 2} \right]}}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{{2^2} - {{\left[ {\sqrt 3 } \right]}^2}}} \\= \sqrt 3 - \left[ {2 + \sqrt 3 } \right] = - 2.\end{array}\].
Vậy \[\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} = - 2\] .
\[\begin{array}{l}d]\;\left[ {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}} \right].\left[ {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right]\;\;\;\;\left[ {x > 0;x \ne 4} \right]\\ = \left[ {\dfrac{{{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]}^2}}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right].\left[ {\sqrt x + 2} \right]}} - \dfrac{{{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]}^2}}}{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 2} \right]}}} \right].\left[ {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right]\\ = \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4 - x - 4\sqrt x - 4}}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 8\sqrt x }}{{\sqrt x }} = - 8.\end{array}\].
Vậy \[\left[ {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}} \right].\left[ {\sqrt x - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right] = - 8\]
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
Bài 2: [2 điểm] [VD]
Cho hai hàm số bậc nhất \[y = - \dfrac{1}{2}x\] có đồ thị là \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[y = 2x - 5\] có đồ thị là\[\left[ {{d_2}} \right]\]
a]Vẽ \[\left[ {{d_1}} \right],\left[ {{d_2}} \right]\] trên cùng hệ trục tọa độ.
Ta thấy :
+] \[A\left[ {0;0} \right],B\left[ {2; - 1} \right]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = - \dfrac{1}{2}x\] .
+] \[B\left[ {2; - 1} \right],C\left[ {3;1} \right]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = 2x - 5\].
Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số:
b]Cho đường thẳng \[\left[ {{d_3}} \right]:y = ax + b.\] Tìm \[a,b\] để \[{d_3}//{d_1}\] và cắt \[\left[ {{d_2}} \right]\] tại một điểm có tung độ bằng 3.
Vì \[{d_3}//{d_1}\] nên ta có: \[a = \dfrac{{ - 1}}{2},\;\;b \ne 0 \Rightarrow {d_3}:\;\;y = - \dfrac{1}{2}x + b.\]
Theo đề bài \[\left[ {{d_3}} \right]\]cắt \[\left[ {{d_2}} \right]\] tại một điểm có tung độ bằng \[3 \Rightarrow 3 = 2x - 5 \Rightarrow x = 4\].
Suy ra \[\left[ {{d_3}} \right]\] đi qua điểm \[M\left[ {4;3} \right]\]\[ \Rightarrow 4.\dfrac{{ - 1}}{2} + b = 3 \Rightarrow b = 5\;\;\left[ {tm} \right].\]
Vậy phương trình đường thẳng \[\left[ {{d_3}} \right]\]là: \[y = - \dfrac{1}{2}x + 5\].
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
Bài 3:
Tìm \[x\] biết \[\sqrt {4x - 20} = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}} - 2\].
ĐKXĐ: \[x \ge 5\]
\[\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sqrt {4x - 20} = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}} - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5} = 7.\sqrt {\dfrac{1}{9}} .\sqrt {x - 5} - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}\sqrt {x - 5} - 2\sqrt {x - 5} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 6\\ \Leftrightarrow x - 5 = 36\;\;\;\left[ {do\;\;6 > 0} \right]\\ \Leftrightarrow x = 41\;\;\left[ {tm} \right].\end{array}\]
Vậy \[x = 41\] là nghiệm của phương trình.
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
Năm nay số dân ở một thành phố A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.
Cách 1: Áp dụng công thức trên ta có só dân của thành phố sau 2 năm là:
\[{P_2} = 2000000.{\left[ {1 + 0,5\% } \right]^2} = 2020050\] người
Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.
Cách 2:
Dân số của thành phố A sau 1 năm là: \[2000000 + 2000000.0,5\% = 2010000\] người.
Dân số của thành phố A sau 2 năm là: \[2010000 + 2010000.0,5\% = 2020050\] người.
Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
Bài 5:Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \[{30^o}\]. Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \[20m\]. Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? [làm tròn tới phần thập phân thứ nhất]
Ta có hình vẽ minh họa:
Trong đó đoạn thẳng AB là độ dài của bóng cây, đoạn BC là chiều cao của cây
Xét tam giác ABC vuông tại B có: \[\tan \alpha = \tan {30^o} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{h}{{20}} \Rightarrow h = 20.\tan {30^o} = 11,5\left[ m \right]\]
Vậy chiều cao của cây là: \[h = 11,5m\]
LG bài 6
Lời giải chi tiết:
Bài 6:Từ điểm \[M\] nằm ở ngoài đường tròn \[\left[ {O,R} \right]\] với \[OM > 2R\], vẽ hai tiếp tuyến \[MA,MB\;\;[A,B\]là hai tiếp điểm]. Gọi \[H\]là giao điểm của \[AB,OM\]
a]Nếu cho \[OM = R\sqrt 5 \]. Tính độ dài đoạn \[MA\] theo \[R\] và số đo \[\angle AOM\] [làm tròn tới độ]
Xét tam giácOAMvuông tạiAcó:
+] \[A{M^2} + O{A^2} = O{M^2} \]
\[\Rightarrow AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 5 R} \right]}^2} - {R^2}} = 2R\] [định lí Py-ta-go]
+] \[\cos \left[ {\angle AOM} \right] = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{R\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \]
\[\Rightarrow \angle AOM = \arccos \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right] \approx {63^o}\]\[\]
b]Chứng minh bốn điểm \[M,A,O,B\] thuộc một đường tròn.
Xét đường tròn \[\left[ {O,R} \right]\] có:MA,MBlà hai tiếp tuyến vớiA,Blà tiếp điểm
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA \bot AM\\OB \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle OAM = {90^o}\\\angle OBM = {90^o}\end{array} \right.\]
Xét tứ giácMAOBcó: \[\angle OAM + \angle OBM = {90^o} + {90^o} = {180^o}\], suy ra tứ giácMAOBnội tiếp đường tròn, suy ra bốn điểmM,O,A,Bcùng thuộc một đường tròn [đpcm].
c]Gọi \[AC\] là đường kính của đường tròn\[\left[ O \right]\], tia \[CH\] cắt đường tròn \[\left[ O \right]\]tại \[N\]. Chứng minh:\[4OH.OM = A{C^2}\].
Có \[OA = OB\] [cùng là bán kính], suy raOthuộc trung trực củaAB.
Xét đường tròn \[\left[ {O,R} \right]\] có:MA,MBlà hai tiếp tuyến vớiA,Blà tiếp điểm, suy ra \[MA = MB\], suy raMthuộc trung trực củaAB.
Từ hai điều trên ta đượcOMlà trung trực củaAB, suy raOMvuông góc vớiABtạiH.
+] Xét tam giác vuôngOAMvuông tạiAcóAHlà đường cao
\[ \Rightarrow O{A^2} = OH.OM\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
+] Mà có: \[OA = \dfrac{1}{2}AC\] [doOAlà bán kính,AClà đường kính]
\[ \Rightarrow {\left[ {\dfrac{1}{2}AC} \right]^2} = OH.OM \Rightarrow A{C^2} = 4.OH.OM\] [đpcm].
d]Chứng minh rằng đường thẳng \[AN\] đi qua trung điểm của \[MH\].
GọiDlà giao điểm củaANvàOM
Xét tam giácADMvà tam giácCHAcó:
+] \[\angle ACN = \angle MAD\] [ góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cungAN]
+] \[\angle AMD = \angle CAH\] [do cùng phụ với \[\angle HAM\]]
\[ \Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta CHA\;\;\left[ {g - g} \right]\]
\[\Rightarrow \dfrac{{DM}}{{HA}} = \dfrac{{AD}}{{HC}} \Rightarrow DM = AD.\dfrac{{HA}}{{HC}}\] [1]
CóABvuông góc vớiOM[cmt] \[ \Rightarrow \angle AHD = {90^o}\]
Có \[\angle ANC\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[ \Rightarrow \angle ANC = {90^o}\]
Xét hai tam giác vuôngHDNvàADH có chung \[\angle NDH\]
\[ \Rightarrow \Delta HDN \sim \Delta ADH\;\left[ {g - g} \right]\]
\[\Rightarrow \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{{HN}}{{AH}} \Rightarrow HD = AD.\dfrac{{HN}}{{AH}}\]. [2]
Xét tam giácAHCvà tam giácNHBcó:
+] \[\angle AHC = \angle NHB\] [hai góc đối đỉnh]
+] \[\angle CAH = \angle HNB\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cungBC]
\[ \Rightarrow \Delta AHC \sim \Delta NHB\;\;\left[ {g - g} \right] \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}\]
Mà có: \[HA = HB\] [doOMlà trung trực củaAB] \[ \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\] [3]
Từ [1] , [2] , [3] suy ra \[HD = DM\], suy raDlà trung điểm củaHM, suy raANđi qua trung điểm củaHM[đpcm].
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com