Đề bài
Từ điểm P ở ngoài đường tròn [O], vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với [O] tại A và B. Vẽ dây cung BC // PA. Gọi E là giao điểm thứ hai của PC với đường tròn [O] và F là giao điểm của BE và PA.
a] Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng PFB và EFP, AFE và BFA.
b] Chứng minh PF = FA
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp g-g.
b] Từ các cặp tam giác đồng dạng ở câu a], suy ra các tỉ số đồng dạng chứa cạnh PF và FA.
Lời giải chi tiết
a] +] Ta có \[\widehat {FPE} = \widehat {ECB}\] [so le trong bằng nhau do AP // BC];
Lại có: \[\widehat {EBC} = \widehat {FBP}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE]
\[ \Rightarrow \widehat {FPE} = \widehat {FBP}\].
Xét \[\Delta PFB\] và \[\Delta EFP\] có:
\[\widehat {BFP}\] chung;
\[\widehat {FPE} = \widehat {FBP}\,\,\left[ {cmt} \right];\]
\[\Rightarrow \Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left[ {g.g} \right]\]
+] Xét \[\Delta AFE\] và \[\Delta BFA\] có:
\[\widehat {AFB}\] chung;
\[\widehat {EAF} = \widehat {ABF}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE]
\[\Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left[ {g.g} \right]\]
b] \[\Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left[ {cmt} \right]\]
\[\Rightarrow \dfrac{{PF}}{{EF}} = \dfrac{{BF}}{{PF}} \Rightarrow P{F^2} = EF.BF\][1]
\[\Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left[ {cmt} \right] \]
\[\Rightarrow \dfrac{{FA}}{{BF}} = \dfrac{{EF}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = EF.BF\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow P{F^2} = F{A^2} \Rightarrow PF = FA\] [đpcm].