Đề bài
Câu 1. Tìm \[I = \int {{x^2}\cos x\,dx} \].
A. \[{x^2}.\sin x + x.\cos x - 2\sin x + C\].
B. \[{x^2}.\sin x + 2x.\cos x - 2\sin x + C\].
C. \[x.\sin x + 2x.\cos x + C\].
D. \[2x.\cos x + \sin + C\].
Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và \[y = \sqrt {x\sin x} \,\,[0 \le x \le \pi ]\] là:
A. \[ - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\] B. \[\pi^2\]
C. \[\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\] D. \[ - \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\].
Câu 3. Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của \[f[x] = \cos x.\sin x\] ?
A. \[ - \dfrac{1}{4}\cos 2x + C\]
B. \[\dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + C\].
C. \[ - \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x + C\].
D. \[\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\].
Câu 4. Cho \[\int\limits_2^5 {f[x]\,dx = 10} \]. Khi đó, \[\int\limits_5^2 {[2 - 4f[x]]\,dx} \] có giá trị là:
A. 32 B. 34
C. 46 D. 40.
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số \[f[x] = \dfrac{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}{{{x^4}}}\] là:
A. \[ - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\].
B. \[\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\].
C. \[ - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + C\].
D. \[ - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\].
Câu 6. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x, y = 0, y= 4 x . Hình này quay quanh trục Oy tạo nên vật thể có thể tích là Vy. Lựa chọc phương án đúng.
A. \[{V_y} = 12\pi \]. B. \[{V_y} = 8\pi \]
C. \[{V_y} = 18\pi \]. D. \[{V_y} = 16\pi \].
Câu 7. Tính nguyên hàm \[\int {x\sqrt {a - x} \,dx} \] ta được :
A. \[{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\].
B. \[ - \dfrac{2}{5}{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\].
C.\[{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{5}{2}}} - a + C\].
D. \[\dfrac{2}{5}{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{3}{2}}} + C\].
Câu 8. Cho miền [D] giới hạn bởi các đường sau: \[y = \sqrt x ,\,\,y = 2 - x,\,\,y = 0\]. Diện tích của miền [D] có giá tri là:
A. \[\dfrac{6}{7}\] B. \[\dfrac{7}{6}\]
C. 1 D. 2.
Câu 9. Hàm số \[F[x] = \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\] là nguyên hàm của hàm số nào :
A. \[\dfrac{1}{{x{{\ln }^3}x}}\]. B. \[x{\ln ^3}x\].
C. \[\dfrac{{{x^2}}}{{{{\ln }^3}x}}\]. D. \[\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\].
Câu 10. Tích phân \[\int\limits_0^e {\left[ {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]} \,dx\] có giá trị bằng :
A. \[{e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left[ {1 + e} \right]\].
B. \[{e^2} - 7e + \dfrac{1}{{e + 1}}\].
C. \[{e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} - \dfrac{1}{{{{\left[ {e + 1} \right]}^2}}}\].
D. \[{e^3} - 7{e^2} - \ln \left[ {1 + e} \right]\].
Câu 11. Tích phân \[\int\limits_0^4 {\left[ {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right]dx = a + b{e^2}} \] khi đó a 10b bằng:
A. 6 B 46
C. 26 D. 12.
Câu 12. Cho hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a ;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f[x], trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b là :
A. \[\int\limits_a^b {\left| {f[a]} \right|\,dx} \].
B. \[ - \int\limits_a^b {f[x]\,dx} \].
C. \[\int\limits_b^a {f[x]\,dx} \].
D. \[\int\limits_a^b {f[x]\,dx} \].
Câu 13. Cho \[\int\limits_{ - 2}^1 {f[x]\,dx = 1,\,\,\int\limits_{ - 2}^1 {g[x]\,dx = - 2} } \]. Tính \[\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {1 - f[x] + 3g[x]} \right]} \,dx\].
A. 24 B. 7
C. 4 D. 8.
Câu 14. Cho hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a ; b]. Hãy chọn mệnh đề sai.
A. \[\int\limits_a^b {f[x]\,dx = \int\limits_b^a {f[x]\,dx} } \].
B. \[\int\limits_a^b {k.dx = k\left[ {b - a} \right],\,\forall k \in R} \].
C. \[\int\limits_a^b {f[x]\,dx = - \int\limits_b^a {f[x]\,dx} } \]
D. \[\int\limits_a^b {f[x]\,dx = \int\limits_a^c {f[x]\,dx + \int\limits_c^b {f[x]\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \]
Câu 15. Xét tích phân \[\int\limits_0^{\dfrac{x}{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \]. Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây ?
A. \[I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \].
B. \[I = \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \].
C. \[I = - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \].
D. \[I = - \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \].
Câu 16. Tìm hai số thực A, B sao cho \[f[x] = A\sin \pi x + B\], biết rằng f[1] = 2 và \[\int\limits_0^2 {f[x]\,dx = 4} \].
A. \[\left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\B = - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\].
B. \[\left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B = - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\].
C. \[\left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\B = \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\].
D. \[\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\A = - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\]
Câu 17. Tính tích phân \[I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \].
A. \[I = \dfrac{1}{2}\]
B. \[I = \dfrac{{3{e^2} + 1}}{4}\].
C. \[I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\].
D. \[I = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\].
Câu 18. Tìm nguyên hàm của \[f[x] = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\]trên \[[0; + \infty ]\].
A. \[4\cos x + \ln x + C\].
B. \[4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\].
C. \[4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\].
D. \[4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\].
Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = x + \dfrac{1}{x}\], trục hoành, đường thẳng x= - 1 và đường thẳng x = - 2 là:
A. \[2\ln 2 + 3\].
B. \[\dfrac{{\ln 2}}{2} + \dfrac{3}{4}\].
C. \[\ln 2 + \dfrac{3}{2}\].
D. \[\ln 2 + 1\].
Câu 20. Cho tích phân \[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx\]. Đặt u = 8 + cosx thì kết quả nào sau đây đúng ?
A. \[I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \].
B. \[I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \].
C. \[I = \int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \].
D. \[I = \int\limits_9^8 {\sqrt u \,du} \]
Câu 21. Biết F[x] là nguyên hàm của \[f[x] = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F[2] = 1\]. Khi đó F[3] bằng :
A. \[\ln \dfrac{3}{2}\] B. \[\dfrac{1}{2}\]
C. ln 2 D. ln2 + 1.
Câu 22. Cho hình [H] giới hạn bởi các đường \[y = \sin x,y = 0,\,x = 0,\,x = \pi \]. Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi [H] quay quanh trục Ox bằng :
A. \[\pi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} \,dx\].
B. \[\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} \,dx\].
C. \[\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^4}x} \,dx\].
D. \[\pi \int\limits_0^\pi {\sin x} \,dx\].
Câu 23. Tính tích phân \[I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx} \] bằng cách đặt x = 2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. \[I = 2\int\limits_0^1 {dt} \].
B. \[I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {dt} \].
C. \[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {dt} \].
D. \[I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \].
Câu 24. Tích phân \[I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx} \] bằng:
A. 2
B. \[\dfrac{{13}}{6}\]
C. \[\ln 2 - \dfrac{3}{4}\]
D. \[\ln 3 - \dfrac{3}{5}\].
Câu 25. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \[f[x] = \dfrac{1}{{6x - 2}}\].
A. \[\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = 6\ln |6x - 2| + C} \].
B. \[\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{6}\ln |6x - 2| + C} \].
C. \[\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{2}\ln |6x - 2| + C} \].
D. \[\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \ln |6x - 2| + C} \].
Lời giải chi tiết
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
B |
B |
D |
B |
A |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
D |
D |
B |
D |
A |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
B |
A |
C |
A |
A |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
D |
C |
C |
C |
A |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
D |
A |
D |
B |
B |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có: \[I = \int {{x^2}\cos x\,dx} = \int {{x^2}\,d\left[ {\sin x} \right]} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = d\left[ {\sin x} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2x\,dx\\v = \sin x\end{array} \right.\]
Khi đó ta có \[I = \int {{x^2}d\left[ {\sin x} \right]} = \left[ {{x^2}\sin x} \right] - 2\int {x\sin xdx} \]
\[ = \left[ {{x^2}\sin x} \right] + 2\left[ {x\cos x} \right] - 2\int {\cos xdx} \]
\[= \left[ {{x^2}\sin x} \right] + 2\left[ {x\cos x} \right] - {\mathop{\rm s}\nolimits} inx + C\].
Chọn đáp án B.
Câu 2.
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được xác định bằng công thức sau:
\[V = \pi \int\limits_0^\pi {\left[ {x\sin x} \right]dx} = - \pi \int\limits_0^\pi {xd\left[ {\cos x} \right]} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left[ {\cos x} \right]\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \cos x\end{array} \right.\]
Khi đó
\[V = - \pi \left[ {x\cos x} \right]\left| {_0^\pi } \right. + \pi \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \]\[\,= - \pi \left[ {x\cos x} \right]\left| {_0^\pi } \right. + \pi .\left[ {\sin x} \right]\left| {_0^\pi } \right.\]\[ = - \pi \left[ { - \pi } \right] + 0 = {\pi ^2}\]
Chọn đáp án B.
Câu 3.
Ta có: \[\int {\cos x.\sin x} \,dx = \int {\sin x\,d\left[ {\sin x} \right]} \]\[\,= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{4} + C\]
Chọn đáp án D.
Câu 4.
Ta có: \[\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f[x]} \right]dx} \]
\[= - \int\limits_2^5 {2\,dx} + 4\int\limits_2^5 {f\left[ x \right]} \,dx\]
\[= - \left[ {2x} \right]\left| \begin{array}{l}_{}^5\\_2^{}\end{array} \right. + 4.10 \]
\[= - \left[ {10 - 4} \right] + 40 = 34\]
Chọn đáp án B.
Câu 5.
Ta có: \[\int {\dfrac{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}{{{x^4}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^4}}}} \,dx\]
\[= \int {\left[ {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{4}{{{x^4}}}} \right]} \,dx\]
\[= - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\]
Chọn đáp án A.
Câu 6.
Phương trình hoành độ giao điểm \[x = 4 - x \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2.\]
Khi đó, thể tích hình phẳng được xác định là:\[{V_y} = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - {{\left[ {2 - x} \right]}^2}} \right|} \,dx = 16\pi .\]
Chọn đáp án D.
Câu 7.
Đặt \[t = \sqrt {a - x} \Rightarrow {t^2} = a - x \]
\[\Leftrightarrow x = a - {t^2} \Rightarrow dx = - 2t\,dt\]
Khi đó ta có: \[\int {x\sqrt {a - x} \,dx} = - 2\int {\left[ {a - {t^2}} \right]{t^2}dt\,} \]
\[= - 2\int {\left[ {a{t^2} - {t^4}} \right]} \,dt\]\[\, = - 2\left[ {\dfrac{{a{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right] + C \]
\[= \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}a{t^3} + C \]
\[= \dfrac{2}{5}{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left[ {a - x} \right]^{\dfrac{3}{2}}} + C\]
Chọn đáp án D.
Câu 8.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa các đường thẳng là\[\left\{ \begin{array}{l}2 - x = 0\\\sqrt x = 0\\\sqrt x = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\]
Khi đó diện tích của miền \[\left[ D \right]\] được xác định bởi:
\[S = \int\limits_0^1 {\left[ {\sqrt x } \right]\,dx} + \int\limits_1^2 {\left[ {2 - x} \right]\,dx} \]
\[\;\;\;= \left[ {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right]\left| \begin{array}{l}_{}^1\\_0^{}\end{array} \right. + \left[ {2x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right]\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\]
\[\;\;\;= \dfrac{2}{3} + 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{6}\]
Chọn đáp án B.
Câu 9.
Ta có: \[\int {\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\,dx} = \int {{{\ln }^3}x\,d\left[ {\ln x} \right]} \]\[\,= \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\]
Chọn đáp án D.
Câu 10.
Ta có: \[\int\limits_0^e {\left[ {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]} \,dx\]
\[= \left[ {{x^3} - \dfrac{7}{2}{x^2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right]\left| \begin{array}{l}^e\\_0\end{array} \right. \]
\[= \left[ {{e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left[ {e + 1} \right]} \right]\]
Chọn dáp án A.
Câu 11.
Ta có: \[\int\limits_0^4 \left[ {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right]dx \]
\[= \left[ {\dfrac{3}{2}{x^2}} \right] \left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^4 {{e^{\dfrac{x}{2}}}\,d\left[ {\dfrac{x}{2}} \right]} \]
\[= 24 - 2\left[ {{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right]\left| \begin{array}{l}^4\\_0^{}\end{array} \right. \]
\[= 24 - 2\left[ {{e^2} - 1} \right] = 26 - 2{e^2}\]
Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a = 26\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a - 10b = 26 + 20 = 46.\]
Chọn đáp án B.
Câu 12.
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành, các đường thẳng \[x = a,x = b\] là: \[\int\limits_a^b {\left| {f[a]} \right|\,dx} \]
Chọn đáp án A.
Câu 13.
Ta có: \[\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {1 - f[x] + 3g[x]} \right]} \,dx \]
\[= \left[ x \right]\left| {_{ - 2}^1} \right. - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left[ x \right]} \,dx + 3\int\limits_{ - 2}^1 {g\left[ x \right]} \,dx \]
\[= 3 - 1 + 3.\left[ { - 2} \right] = - 4\]
Chọn đáp án C.
Câu 14.
Áp dụng định nghĩa và tính chất của tích phân ta có:
+ \[\int\limits_a^b {k.dx = k\int\limits_a^b {dx} = k.\left[ x \right]\left| {_a^b} \right. = k\left[ {b - a} \right],\,\forall k \in R} \]
+ \[\int\limits_a^b {f[x]\,dx = - \int\limits_b^a {f[x]\,dx} } \]
+\[\int\limits_a^b {f[x]\,dx = \int\limits_a^c {f[x]\,dx + \int\limits_c^b {f[x]\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \]
Chọn đáp án A.
Câu 15.
Đặt \[t = \cos x\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = \dfrac{\pi }{3} \to t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]
Khi đó ta có: \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \]
\[= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{2\sin x.\cos x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \]
\[= - 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\cos x}}{{1 + \cos x}}} \,d\left[ {\cos x} \right]\]
\[ = - 2\int\limits_1^{\dfrac{1}{2}} {\dfrac{t}{{1 + t}}\,dt} \]
\[= \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{t + 1}}\,dt} \]
Chọn đáp án A.
Câu 16
Ta có \[\int\limits_0^2 {\left[ {A\sin \pi x + B} \right]\,dx = 4} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi }\int\limits_0^2 {A\sin \pi x\,d\left[ {\pi x} \right]} + B\int\limits_0^2 {dx} = 4\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{A}{\pi }\left[ { - \cos \pi x} \right]\left| {_0^2} \right. + B\left[ x \right]\left| {_0^2} \right. = 4 \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{A}{\pi }\left[ { - 1 - \left[ { - 1} \right]} \right] + B\left[ {2 - 0} \right] = 4\]
\[\Leftrightarrow B = 2\]
Khi đó \[f[x] = A\sin \pi x + 2\]\[\, \Rightarrow f'\left[ x \right] = A\pi \cos \pi x\]
Theo giả thiết ta có: \[f'\left[ 1 \right] = 2 \Rightarrow A\pi .\left[ { - 1} \right] = 2\]\[\, \Rightarrow A = - \dfrac{2}{\pi }.\]
Chọn đáp án D.
Câu 17.
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\]
Khi đó ta có: \[I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \]
\[= \left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right]\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}} \,dx \]
\[= \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left[ {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right]\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. \]
\[= \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left[ {\dfrac{{{e^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}} \right] = I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\]
Chọn đáp án C.
Câu 18.
Ta có: \[\int {\left[ {4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]} \,dx \]\[\,= 4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\]
Chọn đáp án C.
Câu 19.
Diện tích hình phằng giới hạn trên được xác định bằng công thức
\[S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + \dfrac{1}{x}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}\end{array} \right. \]
\[\;\;\;= \left| {\left| {\dfrac{1}{2} + \ln 1} \right| - \left| {2 + \ln 2} \right|} \right| \]
\[\,\,\,\,= \left| {\dfrac{1}{2} - 2 - \ln 2} \right| = \dfrac{3}{2} + \ln 2\]
Chọn đáp án C.
Câu 20.
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to u = 9\\x = \dfrac{\pi }{2} \to u = 8\end{array} \right.\]
Khi đó ta có: \[I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx \]
\[= - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {8 + \cos x} } \,d\left[ {\cos x + 8} \right]\]
\[= - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt u } \,d\left[ u \right]\]
\[ = - \int\limits_9^8 {\sqrt u } du = \int\limits_8^9 {\sqrt u } \,du\]
Chọn đáp án C.
Câu 21.
Ta có: \[\int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,d\left[ {x - 1} \right]}\]\[\, = \ln \left| {x - 1} \right| + C\]
Theo giả thiết: \[F\left[ 2 \right] = 1 \Rightarrow \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\]
Khi đó \[F\left[ 3 \right] = \ln 2 + 1.\]
Chọn đáp án D.
Câu 22.
Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi \[\left[ H \right]\]quay quanh trục Ox được xác định bằng công thức
\[V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} \,dx\]
Chọn đáp án A.
Câu 23.
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = 1 \to t = \dfrac{\pi }{6}\end{array} \right.\]
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx} \\= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{4}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}\,d\left[ {\sin t} \right] }\\= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{2}{{\cos t}}} .\cos t\,dt = I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \\\end{array}\]
Chọn đáp án D.
Câu 24.
Ta có:
\[I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx} \]
\[= \dfrac{1}{8}\int\limits_1^e {\sqrt {8\ln x + 1} \,d\left[ {8\ln x + 1} \right]}\]
\[ = \dfrac{1}{8}.\dfrac{2}{3}{\left[ {8\ln x + 1} \right]^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right.\]
\[ = \dfrac{1}{{12}}\left[ {{9^{\dfrac{3}{2}}} - 1} \right] = \dfrac{{13}}{6}\]
Chọn đáp án B.
Câu 25.
Ta có: \[\int {\dfrac{1}{{6x - 2}}\,dx} = \dfrac{1}{6}\int \dfrac{1}{{6x - 2}}\,d\left[ {6x - 2} \right] \]\[\,= \dfrac{1}{6}\ln \left| {6x - 2} \right| + C \]
Chọn đáp án B.