Đề bài
Câu 1: Tìm a, b để hàm số
\[f[x] = \left\{ {\matrix{{{x^2} + x} \cr {ax + b} \cr } } \right.\,\,\matrix{{khi} \cr {khi} \cr } \,\,\matrix{{x \ge 1} \cr {x < 1} \cr } \]có đạo hàm tại x =1
A. \[\left\{ \matrix{a = 23 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr} \right.\]
B.\[\left\{ \matrix{a = 3 \hfill \cr b = - 11 \hfill \cr} \right.\]
C. \[\left\{ \matrix{a = 33 \hfill \cr b = - 31 \hfill \cr} \right.\]
D.\[\left\{ \matrix{a = 3 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Câu 2: Cho hàm số \[f[x] = - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\]xác định trên R. Giá trị \[f'[ - 1]\]bằng
A. 4
B. 14
C. 15
D. 24
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số \[y = [{x^2} - 1][3{x^3} + 2x]\]
A. \[y' = {x^4} - 3{x^2} - 2\]
B. \[y' = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\]
C. \[y' = 15{x^4} - 3{x^2}\]
D. \[y' = 15{x^4} - 3{x^2} - 2\]
Câu 4: Hàm số \[y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\]có đạo hàm là:
A. \[y' = 2\]
B. \[y' = - {1 \over {{{[x - 1]}^2}}}\]
C. \[y' = - {3 \over {{{[x - 1]}^2}}}\]
D. \[y' = {1 \over {{{[x - 1]}^2}}}\]
Câu 5: Đạo hàm của hàm số \[y = - 2{x^7} + \sqrt x \]bằng biểu thức nào sau đây ?
A. \[- 14{x^6} + 2\sqrt x \]
B. \[- 14{x^6} + {2 \over {\sqrt x }}\]
C. \[- 14{x^6} + {1 \over {2\sqrt x }}\]
D. \[- 14{x^6} + {1 \over {\sqrt x }}\]
Câu 6: Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5\] Phương trình \[y' = 0\]có nghiệm là:
A. \[\left\{ { - 1;2} \right\}\]
B. \[\left\{ { - 1;3} \right\}\]
C. \[\left\{ {0;4} \right\}\]
D. \[\left\{ {1;2} \right\}\]
Câu 7: Cho hàm số \[f[x] = {{5x - 1} \over {2x}}\] Tập nghiệm của bất phương trình \[f'[x] < 0\] là:
A. \[\emptyset \]
B. \[R/\left\{ 0 \right\}\]
C. \[\left[ { - \infty ;0} \right]\]
D. \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Câu 8: Xét hàm số \[y = f[x] = 2\sin \left[ {{{5\pi } \over 6} + x} \right]\] Tính giá trị \[f'\left[ {{\pi \over 6}} \right]\]bằng:
A.-1
B. 0
C. 2
D. -2
Câu 9: Đạo hàm của hàm số \[f[x] = 2\sin 2x + \cos 2x\]là:
A. \[4\cos 2x + 2\sin 2x\]
B. \[2\cos 2x - 2\sin 2x\]
C. \[4\cos 2x - 2\sin 2x\]
D. \[- 4\cos 2x - 2\sin 2x\]
Câu 10: Hàm số \[y = x\sin x + \cos x\]có vi phân là:
A. \[dy = [x\cos x - \sin x]dx\]
B. \[dy = [x\cos x]dx\]
C. \[dy = [\cos x - \sin x]dx\]
D. \[dy = [x\sin x]dx\]
Câu 11: Hàm số \[y = \tan x\]có đạo hàm cấp 2 bằng:
A. \[y'' = - {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}}\]
B. \[y'' = {1 \over {{{\cos }^3}x}}\]
C. \[y'' = - {1 \over {{{\cos }^3}x}}\]
D. \[y'' = {{2\sin x} \over {{{\cos }^3}x}}\]
Câu 12: Cho hàm số \[f[x] = {[x + 1]^3}\] Giá trị \[f''[0]\]bằng:
A.3.
B.6
C. 12
D. 24
Câu 13: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {4 \over {x - 1}}\]tại điểm có hoành độ \[{x_0} = - 1\]có phương trình là:
A. \[y = - x + 2\]
B. \[y = x + 2\]
C. \[y = x - 1\]
D. \[y = - x - 3\]
Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^4} + 2{x^2} - 1\]tại điểm có tung độ bằng 2 là:
A. \[y = 8x - 6,y = - 8x - 6\]
B. \[y = 8x - 6,y = - 8x + 6\]
C. \[y = 8x - 8,y = - 8x + 8\]
D. \[y = 40x - 57\]
Câu 15: Cho hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + 7x + 5\,\,\,[C]\] Tìm trên [ C] những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2 ?
A. \[y = \left[ { - 1;9} \right];\left[ {3; - 1} \right]\]
B. \[y = \left[ {1;7} \right];\left[ {3; - 1} \right]\]
C. \[y = \left[ {1;7} \right];\left[ { - 3; - 97} \right]\]
D. \[y = \left[ {1;7} \right];\left[ { - 1; - 9} \right]\]
Câu 16: Cho hàm số \[y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1\,\,[C]\] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [ C] biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[y = - {1 \over {18}}x + 1\]
A. \[y = 18x + 8\]; \[y = 18x - 27\]
B. \[y = 18x + 8\]; \[y = 18x - 2\]
C. \[y = 18x + 81\];\[y = 18x - 2\]
D. \[y = 18x + 81\];\[y = 18x - 27\]
Câu 17: Cho hàm số \[y = {x^2} - 6x + 5\] có tiếp tuyến song song với trục hoành . Phương trình tiếp tuyến đó là:
A.x = -3
B. y = -4
C. y = 4
D. x = 3
Câu 18: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[s = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\][t tính bằng giây; s tính bằng mét]. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là \[v = 18m/s\]
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là \[a = 12\,\,m/{s^2}\]
D.Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0
Câu 19: Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{{{{x^3} - 4{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.\] Giá trị của \[f'\left[ 1 \right]\]bằng:
A. \[2\]
B. 1
C. 0
D. Không tồn tại.
Câu 20:Hàm số \[y = {\tan ^2}{x \over 2}\]có đạo hàm là:
A. \[y' = {{\sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^3}{x \over 2}}}\]
B. \[y' = {\tan ^3}{x \over 2}\]
C. \[y' = {{\sin {x \over 2}} \over {co{s^3}{x \over 2}}}\]
D. \[y' = {{2\sin {x \over 2}} \over {{{\cos }^3}{x \over 2}}}\]
Câu 21:Xét hai mệnh đề:
[I] f[x] có đạo hàm tại x0 thì f[x] liên tục tại x0
[II] f[x] liên tục tại x0 thì f[x] có đạo hàm tại x0
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ [I]
B. Chỉ [II]
C. Cả hai đều sai
D. Cả 2 đều đúng.
Câu 22: Phương trình tiếp tuyến của đường cong \[\left[ C \right]:\,\,y = {x^3} - 2x + 3\]tại điểm \[M\left[ {1;2} \right]\]là:
A. \[y = 2x + 2\]
B. \[y = 3x - 1\]
C. \[y = x + 1\]
D. \[y = 2 - x\]
Câu 23: Cho hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\]có đồ thị \[\left[ C \right]\] Tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\]song song với \[d:\,y = 9x\]có phương trình là:
A. \[y = 9x + 40\]
B. \[y = 9x - 40\]
C. \[y = 9x + 32\]
D. \[y = 9x - 32\]
Câu 24: Tìm m để hàm số \[y = {{m{x^3}} \over 3} - m{x^2} + \left[ {3m - 1} \right]x + 1\]có \[y' \le 0\,\,\forall x \in R\]
A. \[m \le \sqrt 2 \]
B. \[m \le 2\]
C. \[m \le 0\]
D. \[m < 0\]
Câu 25: Cho hàm số \[y = - {x^3} + 3x - 2\]có đồ thị \[\left[ C \right]\] Tiếp tuyến của đồ thị \[\left[ C \right]\]tại giao điểm của \[\left[ C \right]\]với trục hoành có phương trình:
A. \[y = - 9x - 18\]
B. \[y = 0\] hoặc \[y = - 9x - 18\]
C. \[y = - 9x + 18\]
D. \[y = 0\] hoặc \[y = - 9x + 18\]
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| D | D | D | C | C |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | A | D | C | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| D | B | D | A | B |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | B | C | D | C |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| A | C | D | C | B |
Câu 1: Đáp án D
Câu 2: Đáp án D
\[\begin{array}{l}f'[x] = {\left[ { - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right]^\prime } = - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2\\f'[ - 1] = - 4{[ - 1]^3} + 12{[ - 1]^2} - 6[ - 1] + 2 = 24\end{array}\]
Câu 3: Đáp án D
\[\begin{array}{l}y' = {\left[ {[{x^2} - 1][3{x^3} + 2x]} \right]^\prime } = 2x[3{x^3} + 2x] + [9{x^2} + 2][{x^2} - 1]\\ = 6{x^4} + 4{x^2} + 9{x^4} - 7{x^2} - 2 = 15{x^4} - 3{x^2} - 2\end{array}\]
Câu 4: Đáp án C
\[y' = {\left[ {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right]^\prime } = \dfrac{{2\left[ {x - 1} \right] - \left[ {2x + 1} \right]}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
Câu 5: Đáp án C
\[y' = {\left[ { - 2{x^7} + \sqrt x } \right]^\prime } = - 14{x^6} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\]
Câu 6: Đáp án B
\[y' = {\left[ {{x^3} - 3{x^2} - 9x - 5} \right]^\prime } = 3{x^2} - 6x - 9\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\]hoặc \[x = 3\]
Vậy phương trình \[y' = 0\] có tập nghiệm là: S=\[\left\{ { - 1;3} \right\}\]
Câu 7: Đáp án A
\[\begin{array}{l}f'[x] = {\left[ {\dfrac{{5x - 1}}{{2x}}} \right]^\prime } = \dfrac{2}{{4{x^2}}}\\f'[x] \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{4{x^2}}} \le 0\\TXD:D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\\Do\,4{x^2} > 0\forall x \in TXD \Rightarrow \dfrac{2}{{4{x^2}}} > 0\forall x \in TXD\end{array}\]
Vậy bất phương trình f[x]0 vô nghiệm
Câu 8: Đáp án D
\[\begin{array}{l}f'[x] = {\left[ {2\sin \left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} + x} \right]} \right]^\prime } = 2c{\rm{os}}\left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} + x} \right]\\f'\left[ {\dfrac{\pi }{6}} \right] = 2c{\rm{os}}\left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{\pi }{6}} \right] = 2c{\rm{os}}\pi = - 2\end{array}\]
Câu 9: Đáp án C
\[f'[x] = {\left[ {2\sin 2x + \cos 2x} \right]^\prime } = 4\cos 2x - 2\sin 2x\]
Câu 10: Đáp án B
\[dy = d\left[ {x\sin x + \cos x} \right]\]
\[\;\;\;\;= {\left[ {x\sin x + \cos x} \right]^\prime }dx \]
\[\;\;\;\;= \left[ {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + x\cos x - \sin x} \right]dx \]
\[\;\;\;\;= x\cos xdx\]
Câu 11: Đáp án D
\[\begin{array}{l}y' = {\left[ {\tan x} \right]^\prime } = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = {\left[ {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right]^\prime } = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\end{array}\]
Câu 12: Đáp án B
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = \left[ {{{\left[ {x + 1} \right]}^3}} \right]' = 3{\left[ {x + 1} \right]^2}\\f''\left[ x \right] = \left[ {3{{\left[ {x + 1} \right]}^2}} \right]' = 6\left[ {x + 1} \right]\\f''\left[ 0 \right] = 6\left[ {0 + 1} \right] = 6\end{array}\]
Câu 13: Đáp án D
\[\begin{array}{l}y' = {\left[ {\dfrac{4}{{x - 1}}} \right]^\prime } = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\\y'\left[ { - 1} \right] = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left[ { - 1 - 1} \right]}^2}}} = - 1\\y\left[ { - 1} \right] = \dfrac{4}{{ - 1 - 1}} = - 2\end{array}\]
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = -1 là:
\[y = - 1[x + 1] - 2 = - x - 3\]
Câu 14: Đáp án A
\[y' = {\left[ {{x^4} + 2{x^2} - 1} \right]^\prime } = 4{x^3} + 4x\]
\[y = 2 \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2\]hoặc \[{x^2} + 1 = - 2\][vô nghiệm]
Với \[{x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
Với \[x = 1 \Rightarrow y'[1] = 8\]ta được phương trình tiếp tuyến: \[y = 8\left[ {x - 1} \right] + 2 = 8x - 6\]
Với\[x = - 1 \Rightarrow y'[1] = - 8\] ta được phương trình tiếp tuyến: \[y = - 8\left[ {x + 1} \right] + 2 = - 8x - 6\]
Câu 15: Đáp án B
\[\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x + 7\\y' = 2 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 7 = - 2 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow x = 3\]hoặc \[x = 1\]
Với \[x = 3 \Rightarrow y[3] = {3^3} - {6.3^2} + 7.3 + 5 = - 1\]
Với \[x = 1 \Rightarrow y[1] = {1^3} - {6.1^2} + 7.1 + 5 = 7\]
Vậy những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2 là: [3;-1] và [1;7]
Câu 16: Đáp án D
Tiếp tuyến của đồ thị [ C] vuông góc với đường thẳng \[y = - \dfrac{1}{{18}}x + 1\]
aHệ số góc của tiếp tuyến là: k=18
\[y' = {\left[ {{x^3} + 3{x^2} - 6x + 1} \right]^\prime } = \,3{x^2} + 6x - 6\]
\[y' = 18 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 6 = 18 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 24 = 0 \Leftrightarrow x = 2\]hoặc \[x = - 4\]
Với \[x = 2 \Rightarrow f[2] = 9\]phương trình tiếp tuyến tương ứng là: \[y = 18[x - 2] + 9 = 18x - 27\]
Với \[x = - 4 \Rightarrow f[ - 4] = 9\]phương trình tiếp tuyến tương ứng là: \[y = 18[x + 4] + 9 = 18x + 81\]
Câu 17: Đáp án B
Trục hoành có phương trình y=0 tiếp tuyến song song với trục hoành nên tiếp tuyến có hệ số góc k=0
\[\begin{array}{l}y' = 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\y[3] = - 4\end{array}\]
Do đó phương trình tiếp tuyến của hàm số có phương trình: \[y = 0[x - 3] - 4 = - 4\]
Câu 18: Đáp án C
Với t = 3 thì
Câu 19: Đáp án D
\[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1\end{array} \right.\]
Câu 20: Đáp án C
\[y = {\tan ^2}\dfrac{x}{2}\]
\[\Leftrightarrow y' = \left[ {{{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right]' = 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}.\dfrac{1}{2} \]\[\;= \dfrac{{\tan \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}\]
Câu 21: Đáp án A
Câu 22: Đáp án C
Ta có \[y' = 3{x^2} - 2 \Rightarrow y'[1] = {3.1^2} - 2 = 1\]
Phương trình tiếp tuyến của đường cong [C] là:
\[ \Rightarrow y = 1[x - 1] + 2 = x + 1\]
Câu 23: Đáp án D
\[\begin{array}{l}\left[ C \right]:y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\\dt:y = 9x\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 12x + 9\end{array}\]
Vì tiếp tuyến của song song với d : y = 9
nên hệ số góc của pt tiếp tuyến k = 9
hay \[y'\left[ {{x_0}} \right] = 9 \]
\[\Leftrightarrow 3x_0^2 - 12{x_0} + 9 = 9 \]
\[\Leftrightarrow 3x_0^2 - 12{x_0} = 0\]
\[\Leftrightarrow 3{x_0}\left[ {{x_0} - 4} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow {x_0} = 0\] hoặc \[{x_0} = 4\]
Với \[{x_0} = 4\]thì y = 4 pt tiếp tuyến của [C] là
\[y = 9[x - 4] + 4 = 9x - 32\]
Với \[{x_0} = 0\]thì y = 0 pt tiếp tuyến của [C] là y = 9x
Câu 24: Đáp án C
\[y' = m{x^2} - 2mx + \left[ {3m - 1} \right]\]
TH1: m = 0 thì \[y' = - 1 \le 0\,\,\,\forall x \in R\] thỏa mãn
TH2: m > 0 xét \[\Delta ' = {m^2} - m\left[ {3m - 1} \right] = - 2{m^2} + m\]
Để \[y' \le 0\,\,\,\forall x \in R\] thì \[\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} + m \le 0 \Leftrightarrow m < 0\] hoặc \[m > \dfrac{1}{2}\]
Câu 25: Đáp án B
Vì [C] giao với trục hoành nên giao điểm có \[y = 0 \Leftrightarrow - {x^3} + 3x - 2 = 0\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2}\left[ { - 2 - x} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow x = 1\] hoặc \[x = - 2\]
\[y' = - 3{x^2} + 3\]
Với x = 1 thì \[y' = - {3.1^2} + 3 = 0\]. Pt tiếp tuyến của đồ thị [C] là:y = 0
Với \[x = - 2\] thì \[y'\left[ { - 2} \right] = - 3.{[ - 2]^2} + 3 = - 9\].
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] là: \[y = - 9[x + 2] = - 9x - 18\]