Chỉnh hợp tổ hợp hoán vị là gì
|
Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê gửi đến bạn đọc mang tính chất tham khảo. Trường hợp có bất kỳ thắc mắc nào liên quan đến pháp luật, bạn đọc vui lòng liên hệ tới Tổng đài tư vấn miễn phí theo số hotline 1900.6162 để được giải đáp. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!.
Show Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n>=1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Công thức hoán vị: \[P_n = n! = 1.2.3...(n-1).n\]Kí hiệu hoán vị của n phần tử: \(P_n\). Ví dụ về hoán vị: Hỏi: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt? Đáp: \(P_5 = 5! = 120\) số. Chỉnh hợpĐịnh nghĩa chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A. Công thức chỉnh hợp: \[{A_n^k} = n.(n-1)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\]Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử: \({A_n^k}\). Ví dụ về chỉnh hợp: Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp ba khách Minh, Thông, Thái vào hai chỗ ngồi cho trước? Đáp: \({A_3^2} = \frac{3!}{(3-2)!} = 3! = 6\) cách. Tổ hợpĐịnh nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tập con của A, gồm k phần tử phân biệt (1 <= k <= n), được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
Các công thức tổ hợp (k, n đều hợp lệ): \({C_n^k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n.(n-1)...(n-k+1)}{k!}\) \[{C_n^k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[{C_n^k} = {C_n^{n-k}}\] \[{C_n^k} = {C_{n-1}^k} + {C_{n-1}^{k-1}}\] \[{C_n^k} = \frac{n{C_{n-1}^{k-1}}}{k}\]Quy ước: \({C_n^0} = 1\). Ví dụ tổ hợp: Hỏi: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời? . Có nghĩa là nếu chúng ta có 1 tập hợp n phần tử (n>0). Thì mỗi cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự thì ta được 1 hoán vị của n phần tử đó.Chẳng hạn như xếp ba bạn HOÀNG, bạn XUÂN và bạn ĐỊNH vào một bàn học ngang. Ta có một hoán vị HOÀNG–XUÂN–ĐỊNH. Và hoán vị ĐỊNH–HOÀNG–XUÂN là hoán vị khác với hoán vị HOÀNG–XUÂN–ĐỊNH. Ở trên ta đã có định nghĩa của một hoán vị. Vậy câu hỏi tự nhiên đặt ra là có bao nhiêu hoán vị? Chúng ta có thể dễ dàng trả lời câu hỏi đó bằng cách áp dụng quy tắc nhân. Số hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0). Hỏi có bao nhiêu hoán vị của n phần tử đó? Giả sử ta có n vị trí đánh số từ 1 tới n. Để được 1 hoán vị của n phần tử đã cho, ta xếp từng phần tử lần lượt vào các vị trí từ 1 đến n. Xếp vào vị trí thứ 1 có n cách. Xếp vào vị trí thứ 2 có n-1 cách (vì 1 phần tử đã xếp vào vị trí thứ 1 rồi). Cứ như vậy đến hết. Vậy số hoán vị của n phần tử đã cho là  Tôi muốn nhấn mạnh với các bạn sự khác nhau giữa hoán vị và số hoán vị. Đó là điều mà các bạn thường không để ý và bỏ qua. II. HOÁN VỊ LẶP LÀ GÌ?Xét ví dụ sau: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng một lần, chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần, chữ số 4 xuất hiện đúng 3 lần? Khi đó số 122233444 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu ở số trên mà ta hoán vị 2 chữ số 3 chẳng hạn thì số không đổi. Do đó vẫn là 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán mà thôi. Dạng bài toán tương tự như ví dụ trên gọi là hoán vị lặp. Vậy đếm số hoán vị lặp như thế nào? Giả sử một tập hợp có k phần tử được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k phần tử đó sao cho phần tử thứ i (1≤i≤k) xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử. Số hoán vị lặp là Quay lại ví dụ trên ta thấy số các số tự nhiên thỏa mãn là III. TỔ HỢP LÀ GÌ?Ta có thể hiểu mỗi một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử (n>0) là một tổ hợp chập k của n. Ví dụ ta có tập hợp 7 viên ngọc rồng đánh số từ 1 đến 7. Một tổ hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình. Số tổ hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Khi đếm như vậy thì k phần tử đó có thể hoán đổi (hoán vị) với nhau mà không sinh ra tổ hợp khác. Vậy số tổ hợp chập k của n là IV. CHỈNH HỢP LÀ GÌ?Ta có thể hiểu một cách sắp xếp các phần tử của một tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử là một chỉnh hợp chập k của n. Để dễ dàng phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ta quay lại ví dụ 7 viên ngọc rồng ở phần trên. Ở đây lấy ra 3 viên ngọc và sắp theo thứ tự từ trái qua phải. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 được minh họa như hình. Như vậy ta có thể phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp rằng chỉnh hợp chập k thì có kể đến thứ tự của k phần tử, còn tổ hợp thì không kể đến thứ tự. Số chỉnh hợp chập k của n: Để đếm số tổ hợp chập k của n ta giả sử có k vị trí đánh số từ 1 đến k. Lấy lần lượt các phần tử xếp vào các vị trí. Mỗi vị trí 1 phần tử ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 có n-1 cách…cứ như vậy đến phần tử thứ k có n-k+1 cách. Vậy số chỉnh hợp chập k của n là V. LIÊN HỆ GIỮA HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢPTheo các định nghĩa bên trên ta có thể thấy tổ hợp chỉnh hợp hoán vị có mối liên hệ với nhau. Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước. Bước 1 là lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử. Bước 2 là hoán vị k phần tử đó. Vì vậy ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp tổ hợp hoán vị như sau: Trên đây là một số định nghĩa trong chương chỉnh hợp tổ hợp xác xuất mà toanthaydinh.com giới thiệu đến các bạn. Thời gian tới tôi sẽ tiếp tục cập nhật các dạng toán tổ hợp chỉnh hợp ở đây. Tổ hợp chỉnh hợp xác suất là nội dung thường xuất hiện ở kỳ thi THPT QG ở mức độ nhận biết thông hiểu. Vì vậy các bạn hãy nắm chắc các khái niệm trong nội dung xác suất tổ hợp chỉnh hợp để giải toán nhé!. Chúc các bạn học giỏi và thành công! |
