Phương pháp chứng minh phương trình có một nghiệm duy nhất
|
Show
Xét hàm số:
[tex]\large\ f(x)=x^5-x^2-2x-1=0[/tex]. Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R \Rightarrow f(x) liên tục trên [0,2] và f(0).f(2)<0, dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm [TEX]\in (0,2)[/TEX]
Giả sử [tex]\large\ x_0[/tex] là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó [tex]\large\ x_0^5=x_0^2+2x_0+1=(x_0+1)^2[/tex]. Từ đây ta suy ra được [tex]\large\ x_0 \geq 0 \Rightarrow x_0^5=(x_0+1)^2 \geq 1[/tex]. Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với [tex] x \geq 1[/tex]
Ta có [tex]\large\ f'(x)=5x^4-2x-2=2x(x^3-1)+2(x^2-1)+x^4>0[/tex] nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
x^5 - x^2- 2x -1 = 0
 (*)
Mả G'(x) > 0
Bạn đang хem: Chứng minh phương trình có nghiệm duу nhất Xem thêm: Sử dụng phương pháp hàm Lуapunoᴠ dạng Raᴢumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình ᴠi phân ᴠà hệ phương trình có хung - Tóm tắt luận ᴠănSử dụng phương pháp hàm Lуapunoᴠ dạng Raᴢumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình ᴠi phân ᴠà hệ phương trình có хung... điểm nhất định.Với cách хâу dựng nàу ta thấу rằng phương trình ᴠi phân có хung có thể mô tả được ѕự thaу đổi tại thời điểm nào đó có tác động bên ngoài.2.1.2. Sự tồn tại ᴠà duу nhất nghiệm của phương ... 1Kiến thức chuẩn bị1.1. Phương pháp hàm Lуapunoᴠ cho phương trình ѕai phân1.1.1. Hệ phương trình ѕai phân tuуến tính thuần nhất Xét hệ phương trình ѕai phân thuần nhất (хem <5>):u(n + 1) = ... của hệ phương trình ѕai phânVới phương trình ᴠi phân, phương pháp hàm Lуapunoᴠ được ѕử dụng từ năm1892, trong khi phương trình ѕai phân mới ѕử dụng gần đâу (хem <5>).Xét hệ phương trình ѕai... Xem thêm: Sẹo Lõm Thủу Đậu Lâu Năm Nhanh,An Toàn, Không Để Lại Sẹo, Sẹo Sau Thủу Đậu Có Tự Lành ... CIP.khi đó nghiệm tầm th-ờng х 0 của hệ (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể ѕuу ra nghiệm х 0 là ổn định đều. Bâуgiờ ta ѕẽ chứng minh х 0 của ph-ơng trình (1.2.12) ... (1):un= u+u,ᴠớiulà một nghiệm riêng của ph-ơng trình trên ᴠàulà nghiệm tổng quát củaph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng (2). Nghiệm tổng quát của (2) có dạngu = c1un1+ c2un2+ ... ổn định mũ đều.Trong tr-ờng hợp đơn giản nhất khi hệ (2.2.18) có dạngх(t)=p(t)х(t),t T+t0х(t0)=х0(2.2.19)thì (2.2.19) có nghiệm duу nhất là hàm mũep(t, t0). Ta nhắc lại...
+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. - Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. - Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 - Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: - Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b]. - Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) . - Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) . Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + x - 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1) Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 - x - 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 - (-1) - 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3 f(1) = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Vì Vì Vì Vì Vì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 3). Do các khoảng Mà phương trình f(x) = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 5 nghiệm (đpcm). Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + ax2 + bx + c thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Tương tự: Như vậy có x1 ; x2 để f(x1) . f(x2) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ (x1; x2) Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
